相关系数

一些前置知识，期望、方差、协方差概念及其相关公式参见带你深入理解期望、方差、协方差的含义

皮尔逊相关系数，简称相关系数，严格来说，应该称为“线性相关系数”。这是因为，相关系数只是刻画了X，Y之间的“线性”关系程度。换句话说，假如X与Y有其它的函数关系但非线性关系时，用相关系数来衡量是不合理的。 相关系数定义为： ρ X , Y = cov ⁡ ( X , Y ) σ X σ Y = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] σ X σ Y = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) E ( X 2 ) − E 2 ( X ) E ( Y 2 ) − E 2 ( Y ) \rho_{X, Y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E\left[\left(X-EX\right)\left(Y-EY\right)\right]}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{E(X Y)-E(X) E(Y)}{\sqrt{E\left(X^{2}\right)-E^{2}(X)} \sqrt{E\left(Y^{2}\right)-E^{2}(Y)}} ρX,Y​=σX​σY​cov(X,Y)​=σX​σY​E[(X−EX)(Y−EY)]​=E(X2)−E2(X) ​E(Y2)−E2(Y) ​E(XY)−E(X)E(Y)​ c o v cov cov为协方差， σ \sigma σ为标准差。

相关系数有以下性质：

实际应用中，通常用 r r r表示相关系数，假如我们有一组样本点 (x,y)，怎么计算它们的相关系数？ 基于样本对期望、方差、协方差进行估计，也就是： E ( X ) = X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i E(X)=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i E(X)=Xˉ=n1​i=1∑n​Xi​ σ X 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 \sigma_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} σX2​=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2 cov ⁡ ( X , Y ) = 1 n − 1 ∑ n i = 1 ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) \operatorname{cov}(X, Y)=\frac{1}{n-1}{\sum_{n}^{i=1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)} cov(X,Y)=n−11​n∑i=1​(Xi​−Xˉ)(Yi​−Yˉ) （之所以除以n-1而不是除以n，是因为我们是用样本去估计总体，除n-1才是统计学上的“无偏估计”，这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差 ）

上面的任何一个公式看不懂可以看这篇博客

将上述公式代入定义中得， r = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ˉ ) 2 r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}} r=∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2 ​∑i=1n​(Yi​−Yˉ)2 ​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)(Yi​−Yˉ)​

当计算出相关系数后，可以通过以下取值范围判断变量的相关强度：

协方差的定义是从方差而来的， X X X的方差是 E ( X − E X ) E(X-EX) E(X−EX)与 ( X − E X ) (X-EX) (X−EX)的乘积的期望，如今把一个 ( X − E X ) (X-EX) (X−EX)换为 ( Y − E Y ) (Y-EY) (Y−EY)，其形式接近方差，又有 X ， Y X，Y X，Y二者的参与，由此得出协方差的名称。

从功能上来说，其实协方差（Covariance）就足以刻画两个变量的相关关系。解释参见：协方差的意义

但是协方差是带有“单位”的，它和 X , Y X,Y X,Y的数值有关，假如 X X X的数值量级整体都远远大于 Y Y Y，那么就会使得计算出来的协方差很大，它的值是不可比较的，并不能统一地度量。所以我们需要将其无量纲化（单位化），以消除数值量级差异的影响，于是就引入了皮尔逊相关系数，其在协方差的基础上除以各自的标准差，这样就消除了单位，使得计算出来的值介于-1和1之间，相互之间是可比较的，不用受单位的影响。

其它理解角度：https://www.zhihu.com/question/19734616

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