4.3 线性同构

线性同构刻画了不同线性空间之间的相同本质，即同构的线性空间具有相同的线性结构(或者从线性结构的观点来看没有任何区别)，要证明线性映射 $\psi : V \rightarrow U$ 是线性同构，通常一方面要验证$\psi$是单射(或者等价证明 $Ker \psi = 0$)，另一方面需要证明$\psi $是满映射(或者等价证明$ Im \psi = U $). 但若已知前后两个空间维数相等，则由线性映射的维数公式容易证明，$\psi$ 是线性同构当且仅当$\psi $是单映射，也当且仅当$\psi $是满映射，从而只需要验证$\psi$ 是单射或者满射即可得到$\psi$是线性同构，在§3.4节中我们已经看过了线性同构的一些例子和应用，下面是一些典型例题

$$ \psi (f)= (f(a_{0}), f(a_{1}), \cdots, f(a_{n}) ), $$ 求证: $\psi$是线性同构

设 $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$是数域 $\mathbb{F}$中$n+1$个不同的数， $ b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{n}$是数域 $\mathbb{F}$中$n+1$个任意的数，求证: 必定存在$\mathbb{F}$上的次数不超过n的多项式$f(x)$，使得$f(a_{i} = b_{i})(0 \le i \le n)$，并将$f(x)$构造出来

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要证明某个有限维线性空间$V$上的线性变换$ \psi$是自同构(可逆线性变换)，通常有三种方法. 一是可以尝试直接构造出$\psi$的逆变换. 二是证明$\psi$是单映射或是满映射(两者满足其一即可). 三是用矩阵方法，即选取$V$的一组基，设$\psi$在这组基下的表示矩阵为$A$，设法证明$A$是可逆矩阵

下面是几个典型例子

$$ \psi^{n} + a_{1}\psi^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\psi + a_{n}I_{V} = 0 $$ 其中 $I_{V}$ 表示恒等变换，并且 $ a_{n} \ne 0$，求证: $\psi$ 是$V$上的自同构.

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对于无限维线性空间之间的线性映射，我们没有定义表示矩阵这一概念，也没有维数公式等结论，因此研究线性映射或线性变换，无限维线性空间的情形远比有限维线性空间的情形要难得多，也常会出现对于有限维线性空间成立的结论但是在无限维线性空间不成立的情形，例如，要证明无限维线性空间上的线性变换是自同构，只能按照定义证明它既是单映射又是满映射，而不能像有限维上只证明是单或者满

$$ D(f(x)) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x), S(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t) dt. $$ 证明: $D,S$ 均为$V$上的线性变换且$DS = I_{V}$，但 $SD \ne I_{V}$.

下面的命题对于有限维线性空间上的线性变换显然是成立的

(1) 证明: $\psi$和$\Psi$都是可逆变换的充要条件是$\psi \Psi$和$\Psi \psi$ 都是可逆变换; (2) 若 $\Psi \psi = I_{V}$，则称$\Psi$ 是 $\psi$ 的左逆变换，$\psi$ 是 $\Psi$ 的右逆变换. 证明: $\psi$ 是可逆变换的充要条件是$\psi$有且仅有一个左逆变换(右逆变换)

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注: 用例4.18 的结论来看例 4.17，就能发现$D$，之所以不是可逆变换，是因为它的右逆变换除了 $S$ 之外，还有无穷多个.

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注: 事实上，满足上述性质的线性变换$\psi \Psi$绝不可能存在于有限维线性空间 $V$ 上. 若存在，取 $V$ 的一组基并设$\psi \Psi$的表示矩阵为$A,B$，则有 $AB - BA = I$成立，上式两边同时取迹，可得 $$ 0 = tr(AB - BA) = tr(I) = dimV, $$ 导出矛盾. 上述三个例题从一个侧面反映了无限维线性空间和有限维线性空间之间的巨大差异，虽然俺们不打算深入探究这个问题，但仍然提醒读者在学习过程中加以注意