量子散射理论

量子散射理论用于解决粒子碰撞等量子力学过程，主要解法有分波法和Born近似方法。本文介绍这两种计算方法，并且展示其基本原理。

量子力学中，粒子流密度的计算公式为

若已知入射流密度$\bm{J}_i$和散射流密度$\bm{J}_s(\theta,\phi)$，则

散射截面具有面积的量纲。

量子力学的任务是从理论上计算微分散射截面$\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta,\phi)$。散射截面与粒子间相互作用（即靶粒子势场）有直接关系。

通常将散射问题的定态Schrödinger方程写为

由

令$k^2=\frac{2\mu E}{\hbar^2}$，$V(r)=\frac{2\mu}{\hbar^2}U(r)$即可。这里$\frac{\hbar k}{\mu}$可以理解为粒子的相对速度。通常散射问题给定能量，也就是给定了初始动能，也就给定了粒子入射速度。这样，k就是方程中的一个常数。

注意散射问题中的势通常为中心势。取球极坐标时，通常设粒子入射方向为极轴。

该方程的通解在$r\to\infty$时的渐近形式为应为入射平面波与散射球面波的叠加，

式中 $f(\theta,\phi)$ 可以看做球面波的角向概率分布，称为散射幅。散射幅与散射截面有直接的联系：

由式$\eqref{eqn3}$中入射与散射波函数可求得入射与散射流密度的径向分量分别为

由式$\eqref{eqn1}$即可得到微分散射截面。

只要给定靶粒子势$V(r)$，通过解薛定谔方程并取$\psi(\bm{r})$在$r\to\infty$的渐近形式就可以得到$f(\theta,\phi)$。 因此$f(\theta,\phi)$是连接量子力学理论和实验数据的关键，因此量子散射理论的核心是寻找求解散射幅$f(\theta,\phi)$的各种方法。其中分波法和Born近似是两种常用方法。

分波法的核心思想是在球谐函数（或Legendre多项式）展开下求波函数的级数解。这一方法将求散射幅$f(\theta,\phi)$的问题归结为求分波的相移$\delta_l$，而$\delta_l$需要通过势函数$V(r)$的具体情况求解径向方程来获得。

确定精确到前多少个分波粒子波数为$k=\sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}$，势场作用范围为$r=a$，则可以精确到$0\leqslant l< ka$。在极慢速近似也可以只计算s分波（$l=0$)。

解径向方程

其中$V(r)=\frac{2\mu U(r)}{\hbar^2}$，$U(r)$为势能。解得$u_l$为正弦函数或者Bessel函数等，后者取$r\to\infty$渐进形式得到正弦函数。

求相移将渐进解的相写为$\left(kr-\frac\pi2l+\delta_l\right)$的形式，得到相移$\delta_l$。

求散射截面微分散射截面

第$l$个分波的散射截面为

总散射截面为$\sigma=\sum_l\sigma_l$

由于波动方程$\eqref{eqn1}$在球极坐标下有通解

其中$R(r)$为待求的径向波函数。通解中每个特解称为一个分波，$R_l(r)P_l(\cos\theta)$称为第$l$个分波，通常称$l=0,1,2,3,…$的分波分别为s,p,d,f,…分波。

径向波函数$R_l(r)$的$r\to\infty$的渐进解为

将通解$\eqref{eqn5}$代入波动方程$\eqref{eqn1}$得到径向方程

令 $R_l(r)=\frac{u_l(r)}r$，得到

若已知$V(r)$，则可求解此方程得到最终解。此处我们讨论一般情况。

考虑方程在$r\to\infty$下的渐近形式，要求$V(r)\to 0$，

得到渐近解（调整系数后）

最终得到径向分布函数的渐近解$\eqref{eqn6}$。

需要注意的是$A_l$和$\delta_l$的来源不一样。$A_l$可以看做通解中特解的系数，而$\delta_l$的未知来源于势函数$V(r)$性质的不明确，少了一个$r=aka$，这里$k$是能量的函数。粒子能量越低，影响显著的分波数量就越少。所以分波法非常适用于低能（长波）极限下，截取的分波只要$l< ka$即可，极慢速粒子甚至可以只考虑s分波。

Born近似的核心思想是微扰论。当入射粒子能量较高时，不宜使用分波法；此时势能可以看作自由粒子Hamilton量的微扰。

Born近似表达式为

其中 $ K=2k\sin\frac{\theta}2$，$\theta$为散射角。

常见复杂作用势能$U(r)$及对应积分$\int_0^\infty rU(r)\sin(Kr)dr$

$e^{-ar}\to$ $\int_0^\infty re^{-ar}sin(Kr)dr=\frac{2aK}{(a^2+K^2)^2}$

$e^{-a^2r^2}\to$ $\int_0^\infty re^{-a^2r^2}\sin(Kr)dr=\frac{\sqrt{\pi}Ke^{-K^2}{4a^2}}{4a^3}$

$\frac{e^{-ar}}r\to$ $\int_0^\infty e^{-ar}\sin(Kr)dr=\frac{K}{a^2+K^2}$

$\frac1{r^2}\to$ $\int_0^\infty\frac{\sin Kr}rdr=\frac{\pi}2$

Born近似只适用于高能（短波）极限下。