位置算符、动量算符和波函数

前面讨论的观测量的本征值都是离散分布的，然而还有另一类观测量，其本征值是连续分布的。连续谱使用的数学和之前讨论的类似，只需要把求和换成积分，克罗内克符号$\delta_{a’a’’}$换成狄拉克函数$\delta(a’-a’’)$。连续谱下的基的正交归一化条件和完备性关系可以写为：

位置就是这样一个本征值连续分布的观测量。对位置算符$x$的本征右矢$\left|x’\right>$，有：

对任意的态$\left|\alpha\right>$，由位置的完备性关系，可以在位置表象下展开：

如果我们用仪器测量一个处于$\left|\alpha\right>$态上的粒子的位置，粒子会以一定概率塌缩到某个位置本征态。当然，物理的仪器都是有限精度的，我们只能得知粒子的位置在$x’$附近一个宽度为$\mathrm{d}x’$的区间内的概率为：

其中$\psi(x’)=\left< x’|\psi \right>$被称作波函数，其模平方就是粒子在空间中的概率密度。

粒子一定会在空间中某处被发现，这给出了波函数和态矢的归一化条件：

三维的情况和一维类似，我们假设存在位置本征态$\left|\mathbf{x}\right>$，这即是假设三个方向的位置算符有共同的本征态$\left|x’,y’,z’\right>$（否则的话粒子在任意时刻都不会有确定的位置——它不同方向的位置甚至都不对易！我们不希望这样）。如果位置本征态是完备的，我们仍可以展开任意的态矢：

我们定义无穷小平移算符$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$，它作用在位置本征态$\left|\mathbf{x’}\right>$上的结果为：

物理上，考虑任意态矢在坐标表象下的表示：$\left|\alpha\right>=\int c_{\mathbf{x’}}\left|\mathbf{x’}\right>$，无穷小平移使每个本征态$\left|\mathbf{x’}\right>$都变成$\left|\mathbf{x’}+\mathrm{d}\mathbf{x’}\right>$，相当于一个让物理系统平移了$\mathrm{d}\mathbf{x’}$的坐标变换（我们很快会看到，它的确是一个幺正算符）。

下面来考虑$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$的性质，将其作用在任意态矢上：

这说明$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$作用到本征左矢上结果为：

$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$让左矢向相反方向平移了$\mathrm{d}\mathbf{x’}$。从而显然有$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$的厄米共轭为：

当然，根据定义，无穷小平移算符还应满足以下性质：

第一个性质要求$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$是指数函数，即：

由于$\mathrm{d}\mathbf{x’}$是无穷小量，可以展开并保留至一阶：

上面厄米共轭的性质即成为：

从而$\mathbf{B}$是反厄米算符，定义$\mathbf{B}=-i\mathbf{K}$，则$\mathbf{K}$是厄米算符。很容易验证$\mathscr{T}(\mathrm{d}\mathbf{x’})$的幺正性。

总结一下，上面定义的无穷小平移算符有如下形式：

下面考虑无穷小平移和位置算符的对易关系：

从而：

带入上面的形式，有：

我们来考虑$\mathbf{K}$的物理意义。

在经典力学中，上面的无穷小平移可以作为正则变换考虑：

这一变换的生成函数为：

考虑到单位变换（$\mathbf{X}=\mathbf{x},\mathbf{P}=\mathbf{p}$）的生成函数是$F(\mathbf{x}, \mathbf{P})=\mathbf{x}\cdot\mathbf{P}$，这个生成函数和无穷小平移算符有着非常相似的形式。基于此，可以建立这样的对应，$\mathbf{K}$应该就是动量除以一个具有作用量量纲的常数。量子力学中这个常数就是$\hbar$。无穷小平移算符就可以表示为：

从而坐标和动量的对易关系：

下面考虑动量的不同分量间的对易关系。不同方向上的无穷小平移算符是对易的（先在x方向平移再在y方向平移和先在y方向再在x方向平移是等效的），从而有：

在其他方向上也同理，从而不同方向上的动量算符的对易关系为：

不同方向的动量是对易的，这说明和位置算符类似，也存在三维的动量本征态$\left|\mathbf{p’}\right>$。

上面的对易关系：

被称为正则对易关系。

注意到正则对易关系和经典力学中的泊松括号其实有着相似的形式，结果也是乘了一个$i\hbar$。一般地，量子力学中有经典对应的各种观测量的对易关系都可以对应为：

泊松括号的一些性质也可以自然的被应用在对易子上，比如：

位置表象的波函数为$\psi(x’)=\left< x’|\psi \right>$，从这一角度，我们可以得到波动力学中的一系列定义：

对一个一般的算符，矩阵元$\left< x’|A|x’’ \right>$是$x’,x’’$的函数。而当$A$是位置算符的函数时（从而拥有相同的本征态），我们有：

上面的乘积就可以写为：

下面我们来考虑动量表象下波函数和位置空间波函数的关系，从无穷小平移算符出发：

对比等式两边，我们有：

从而：

等式两边其实都是波函数，因此这定义了一个波函数空间上的线性映射，将波函数映射为动量算符作用后的态矢对应的波函数。这也和波动力学中动量算符的定义一致：

现在我们可以考虑态矢在动量表象下的展开，即动量空间波函数。利用完备性关系，我们有：

对其中出现的$\left< p’|x’ \right>$，考虑1.7.4中任意态$\phi$为动量本征态的情况，有：

从而：

其中$N$是归一化常数，考虑$\left< x’|x’’ \right>$：

从而有：

从而我们得到位置空间波函数到动量空间波函数的变换：

相似的，可以得到动量空间到位置空间的变换：

这是傅里叶变换和傅里叶逆变换的形式。

三维的归一化条件和完备性关系成为：

对动量本征态也是同样。

三维的动量算符作用在波函数上，微分成为梯度，1.7.4成为：

1.7.5成为：

位置空间和动量空间波函数间的变换也成为三维傅里叶变换：

注意三维中位置波函数的量纲即成为长度的-3/2次方，这样粒子在全空间被发现的概率才仍然会是无量纲的1。