圆的面积公式是如何推导出来的？

-圆的面积公式是如何推导出来的？

许多答案都提到了，比如laszloSun的答案

我小学时王老师就是这样教的，但当时还是有疑惑，为啥那个花边就能当成直线呢？

用微积分、三角函数也能证，但有两个问题，一是不直观不适合理解，二是三角函数本来就是圆定义的有循环证明的嫌疑，微积分的基础也很少有人触及只是把结论拿来用。。。总之这样证我觉得不够根本

所以这里尝试说得更基础更直观一些，尽量解除疑惑（不指望你能看完，只是告诉你这件事是可以说清楚的）：

思路还是，把一圆分成n个扇形，然后插成一个近似于长方形的东西

1. 这个长方形的宽是r，长是圆的半周长 \pi r 所以面积是 \pi r²

长方形面积公式，这个实是面积的定义

2. \pi 的定义是圆的半周长和半径r之比

这是个定义不需要证明

3. 当切的份数很多时，插成的形状的面积趋近于那个长方形的面积

这里趋近的意思是，给定任意一个正数 \epsilon ，存在一个正整数N使得对所有切的份数n>N，都有：面积的差值小于 \epsilon

实是极限的定义，小学虽然碰到了但大概不会说出来以防止零乱

为此，要考虑两个正n边形，一个是那个圆的内接正多边形，另一个是外切正多边形，把这两个正多边形分别像刚开始那样插成两个长方形

4. 一开始那个近似长方形的东西的面积介于这两个长方形之间

这个符合直觉吧？还用展开证明吗？

5. 这两个长方形的面积当n很大时趋近于同一个值

4和5合起来就是所谓的`夹逼原理`，就是用两条直线去夹那一个花边，需要证明的是

6. 当n足够大时，直线所夹的那个区域的面积趋于0

比如 AOB 是那n个扇形之一 \bigtriangleup AOB 是内接正n边形的一个角， \bigtriangleup A''OB'' 是外切正n边形的一个角，那个大一点的长方形和小一点的长方形的面积的差值~ n\times \frac{(AB+A''B'')}{2} \times CP ，那 n\times \frac{AB+A''B''}{2} 是趋于 2\pi r 的，一个有限的值

而CP的长度是 \sin{\frac{\pi}{n}}\tan{\frac{\pi}{2n}} 这个涉及三角函数，但是我们只是用它来表示一下，想说明的是

7. 当n很大时，CP的长度趋于0

这个符合直观吧？要想严格证明的话涉及到一些定义和欧氏几何的公理，我觉得在这里应该没这个必要全写出来了

然后因为分的份数很多时 n\times(AB+A''B'') 是有限的，CP却趋于0，所以 n\times\frac{(AB+A''B'')}{2}\times CP 的面积趋于0，就夹出了圆的面积是 \pi r²

相关问题（贵乎为啥那么多重复的问题呢？）：

圆的面积怎么算出来？

如何用初等的方法，严格证明圆面积公式？

在发明微积分之前，人们是如何理解和证明圆的面积公式的呢？

如何用微积分推导圆面积公式？

马友发：圆的面积为什么是πr²？

=============以上201027=============

补充说明：

无穷个趋近于0的项相加的确不一定趋近于0，但是圆的那问题里并不是简单的这个条件，而相当于有n个长l宽h的长方形面积相加为s，而n乘以l小于一个定值3πr，这时，在n趋于无穷大时h趋于0，即0