常用等价无穷小的证明

常用等价无穷小的证明

等价无穷小是指在极限过程中，两个函数之差无限趋近于

0

，而

且这个差值比起原来的函数趋近于

0

要快。

我们设两个无穷小为

 $f(x)$ 

和

 $g(x)$

，它们在

 $x$ 

趋近于某

一确定值时都趋近于

0

。如果存在一个极限值

 $L$ 

使得当

 $x$ 

趋近于

该确定值时，

$\frac{f(x)}{g(x)}$ 

趋近于

 $L$

，则称

 $f(x)$ 

与

$g(x)$ 

等价无穷小，记作

 $f(x) \sim g(x)$

。

证明等价无穷小常用的方法有以下几种：

1. 

夹逼定理法。我们设

 $h(x)$ 

是另一个无穷小，且

 $f(x) 

\leq h(x) \leq g(x)$

，则当

 $x$ 

趋近于某一确定值时，

$h(x)$ 

也

趋近于

0

。此时我们可以得到：

$$\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{h(x)}\leq\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{g(x)}{h(x)}$$ 

因此，

 $\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{h(x)}\cdot\frac{h(x)}{g(x)}=L$

，即

 $f(x) \sim 

g(x)$

。

2. 

分子分母同时除以某个无穷小。如果

 $\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{g(x)}=L$

，且

 $h(x)$ 

是与

 $g(x)$ 

同阶无穷小，即

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{h(x)}{g(x)}=1$

，则：

$$\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{f(x)}{g(x)}}{\lim_{x\rightarrow 

a}\frac{h(x)}{g(x)}}=L$$ 

即

 $f(x) \sim h(x)$

。

3. 

利用极限的性质。假设

 $\lim_{x\rightarrow 

a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$

，且存在一个函数

 $h(x)$

，