【集合论】等价类 ( 等价类概念

R R R 关系 是 A A A 集合 上的二元关系 , A A A 集合不为空集 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ ,

对于 A A A 集合中的 任意 x x x 元素 , ∀ x ∈ A \forall x \in A ∀x∈A ,

x x x 关于 R R R 关系的等价类 是 [ x ] R = { y ∣ y ∈ A ∧ x R y } [x]_R = \{ y | y \in A \land xRy \} [x]R​={y∣y∈A∧xRy} ;

x x x 关于 R R R 关系的等价类 , 简称为 x x x 的等价类 , 记作 [ x ] [x] [x] ;

[ x ] R [x]_R [x]R​ 表示 x x x 关于 R R R 关系下的等价类 ;

该等价类是由所有 与 x x x 具有 R R R 关系的 y y y 组成的集合 ;

如果只有一个等价关系 , 上述的 R _R R​ 下标可以省略 , [ x ] R [x]_R [x]R​ 可以简写成 [ x ] [x] [x]

集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 } A = \{1,2,3,4,5,8\} A={1,2,3,4,5,8}

R R R 关系 是 集合 A A A 上的 模 3 3 3 同于关系

符号化表示为 : R = < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d 3 ) R = { | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} } R=∣x,y∈A∧x≡y(mod3)

≡ \equiv ≡ 符号的含义是 恒等于

1 1 1 在 R R R 关系上的等价类是 { 1 , 4 } \{ 1, 4 \} {1,4}

2 2 2 在 R R R 关系上的等价类是 { 2 , 5 , 8 } \{ 2, 5, 8 \} {2,5,8}

3 3 3 在 R R R 关系上的等价类是 { 3 } \{ 3 \} {3}

上述 3 3 3 个等价类 , 等价类内部存在全域关系 , 等价类之间没有任何关系 ;

R R R 关系 是 A A A 集合 上的等价关系 , A A A 集合不为空集 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ , 对于任意 A A A 集合中的元素 x , y x,y x,y , ∀ x , y ∈ A \forall x,y \in A ∀x,y∈A , 有以下性质 :

① 每个元素所在的等价类非空 ;

[ x ] R ≠ ∅ [x]_R \not= \varnothing [x]R​​=∅

② 两个元素如果存在关系 , 那么它们的等价类相等 ;

x R y ⇒ [ x ] R = [ y ] R xRy \Rightarrow [x]_R = [y]_R xRy⇒[x]R​=[y]R​

③ 两个元素如果不存在关系 , 那么它们的等价类肯定不相交 ;

¬ x R y ⇒ [ x ] R ∩ [ y ] R = ∅ \lnot xRy \Rightarrow [x]_R \cap [y]_R = \varnothing ¬xRy⇒[x]R​∩[y]R​=∅

④ 所有的等价类的并集 , 就是原来的集合 A A A ;

⋃ { [ x ] R ∣ x ∈ A } = A \bigcup \{ [x]_R | x \in A \} = A ⋃{[x]R​∣x∈A}=A

R R R 关系 是 A A A 集合 上的等价关系 , A A A 集合不为空集

A A A 集合 关于 R R R 关系 的商集 是

A / R = { [ x ] R ∣ x ∈ A } A/R = \{ [x]_R | x \in A \} A/R={[x]R​∣x∈A}

简称 : A A A 的商集

商集的本质 : 商集 本质是一个 集合 , 集合中的元素是 等价类 , 该等价类是基于 R R R 关系的 ;

集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 } A = \{1,2,3,4,5,8\} A={1,2,3,4,5,8}

R R R 关系 是 集合 A A A 上的 模 3 3 3 同于关系

符号化表示为 : R = < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d 3 ) R = { | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} } R=∣x,y∈A∧x≡y(mod3)

≡ \equiv ≡ 符号的含义是 恒等于

1 1 1 在 R R R 关系上的等价类是 { 1 , 4 } \{ 1, 4 \} {1,4}

2 2 2 在 R R R 关系上的等价类是 { 2 , 5 , 8 } \{ 2, 5, 8 \} {2,5,8}

3 3 3 在 R R R 关系上的等价类是 { 3 } \{ 3 \} {3}

商集定义 : A / R = { [ x ] R ∣ x ∈ A } A/R = \{ [x]_R | x \in A \} A/R={[x]R​∣x∈A}

A A A 集合关于 R R R 关系的商集是 :

A / R = { { 1 , 4 } , { 2 , 5 , 8 } , { 3 } } A/R = \{ \{ 1, 4 \} , \{ 2, 5, 8 \} , \{ 3 \} \} A/R={{1,4},{2,5,8},{3}}

集合 A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } A = \{ a_1 , a_2 , \cdots , a_n \} A={a1​,a2​,⋯,an​} 上的等价关系有 : I A I_A IA​ 恒等关系 , E A E_A EA​ 全域关系 ;

1. 恒等关系 I A I_A IA​ : 集合中的每个元素都是一个等价类 ; 分类 粒度最细 ;

A A A 集合关于 恒等关系 I A I_A IA​ 的商集 : A / I A = { { a 1 } , { a 2 } , ⋯   , { a n } } A/I_A = \{ \{ a_1 \} , \{ a_2 \} , \cdots , \{ a_n \} \} A/IA​={{a1​},{a2​},⋯,{an​}}

2. 全域关系 E A E_A EA​ : 集合中的 所有元素是一个等价类 ; 所有元素放在一起 , 每个元素彼此之间都有关系 ; 该分类 粒度最粗 ;

A A A 集合关于 全域关系 E A E_A EA​ 的商集 : A / E A = { { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } } A/E_A = \{ \{ a_1 ,a_2 , \cdots , a_n \} \} A/EA​={{a1​,a2​,⋯,an​}}

3. R i j R_{ij} Rij​ 关系 : 恒等关系 与 < a i , a j > , < a j , a i > , , 的并集 ; 该关系是 自反 , 对称 , 传递的 , 是等价关系 ;

R i j R_{ij} Rij​ 关系描述 :

R i j = I A ∪ { < a i , a j > , < a j , a i > } R_{ij} = I_A \cup \{ , \} Rij​=IA​∪{,}

A A A 集合关于 全域关系 R i j R_{ij} Rij​ 的商集 :

A / R i j = { { a i , a j } , { a 1 } , ⋯   , { a i − 1 } , { a i + 1 } , ⋯   , { a j − 1 } , { a j + 1 } , ⋯   , a n } , } A/R_{ij} = \{ \{ a_i , a_j \} , \{a_1\} , \cdots , \{a_{i - 1}\}, \{a_{i + 1}\}, \cdots , \{a_{j - 1}\} , \{a_{j + 1}\}, \cdots , a_n \} , \} A/Rij​={{ai​,aj​},{a1​},⋯,{ai−1​},{ai+1​},⋯,{aj−1​},{aj+1​},⋯,an​},}

4. 空关系 ∅ \varnothing ∅ 不是集合 A A A 上的等价关系 , 空关系不是自反的 ;

集合 A = { a , b , c } A = \{ a , b , c \} A={a,b,c} 上的全体等价关系 : 共有 五种等价关系 , 只有 三个元素 , 在恒等关系基础上 , 考虑两两元素 之间 2 个方向的 有序对组成 的关系 ;

① R 1 = I A R_1 = I_A R1​=IA​ 恒等关系 : 对应的商集为 :

A / I A = { { a } , { b } , { c } } A/I_A = \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \} A/IA​={{a},{b},{c}}

② R 2 = E A R_2 = E_A R2​=EA​ 全域关系 : 对应的商集为 :

A / E A = { { a , b , c } } A/E_A = \{ \{ a , b , c \} \} A/EA​={{a,b,c}}

③ R 3 = I A ∪ { < b , c > , < c , b > } R_3 = I_A \cup \{ , \} R3​=IA​∪{,} 关系 : 对应的商集为 :

A / R 3 = { { a } , { b , c } } A/R_3 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \} A/R3​={{a},{b,c}}

④ R 4 = I A ∪ { < a , c > , < c , a > } R_4 = I_A \cup \{ , \} R4​=IA​∪{,} 关系 : 对应的商集为 :

A / R 4 = { { b } , { a , c } } A/R_4= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \} A/R4​={{b},{a,c}}

⑤ R 5 = I A ∪ { < a , b > , < b , a > } R_5 = I_A \cup \{ , \} R5​=IA​∪{,} 关系 : 对应的商集为 :

A / R 5 = { { c } , { a , b } } A/R_5 = \{ \{ c \} , \{ a , b \} \} A/R5​={{c},{a,b}}