【高中数学】祖暅（gèng）原理在高中数学中的运用

这是作者的第二篇专栏，介绍一下祖暅原理。篇幅会比第一篇长很多，但也少了很多专业性的东西，初中生高中生看都没有障碍。

首先我们来看看百度百科对祖暅原理的定义（百度百科√都不看doge）：祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。

这一原理看起来似乎是比较显然的，运用了简单的微积分思想，用微元法（实际上也就是对每一个平面上的极薄的柱体的体积求积分）可以证明，这里我们不给出它的证明，简单描述一下微元法的思想：在这两个立体的每一个等高的截面上，我们平行于截面切一刀，就能切下来一片很薄的薄片，这两个薄片的厚度一样，都是非常非常薄的，而且薄片的上下面几乎是在同一平面上，上下面的面积几乎是一样的（这里其实本质是连续性），于是这两个薄片就是底面积一样等高的柱体，它们的体积相等；我们把两个立体全部按照这样的方式切片，切成无数片，但即使切成了无数片，它们对应高度的一片体积也是相等的，把薄片的体积加起来，总体积也是相等的（如果想对微元法和“切片”（bushi）了解更深刻的话，建议观看）

当然，学以致用，我们从一道高中数学题目来看它的用法：

Problem.设由曲线围成的图形绕纵轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足的点绕纵轴旋转一周所得的旋转体的体积为。则的值是多少？

解：其实我刚开始做这个题时没有想到用祖暅原理，而是运用了高等数学中的旋转体体积公式：即一段曲线在区间上绕横轴旋转所得到的旋转体体积为，其中（注意到：为截面面积，为所截的很薄的柱体的高，这个式子本质就是对体积积分）。那我们就先来写下这种解法：

解法一：先看第一个旋转体的形成，其满足条件的曲线和旋转部分如图：

其大致图形如下，需要求，我们只用求出，再用圆柱体积减去即可

我们先来计算的一半的部分，即上半部分曲线绕纵轴形成的旋转体。由于旋转体体积公式要求绕横轴旋转，这时改为纵轴，相当于改换坐标系，即求，所以，其中为大圆柱体积，故。

接着我们看第二个立体

这个图形绕纵轴旋转后得到：

这个立体的体积很好计算，设大球和小球半径分别为，那么由球的体积公式：

于是我们得到了。

但是实际上，没有学过旋转体公式的话，想要直接求出第一个立体的体积是几乎不可能的（除非把旋转体公式推出来）。所以我们看如何用祖暅原理解决这个问题（虽然原理都一样，但是祖暅原理来源于高中课本《人教版数学必修二》，所以我认为高中生是有必要掌握的）。

解法二：由于这两个立体均具有关于水平面的对称性，故我们只用看横轴以上的部分。           

对于第一个立体，我们做一个截面，所截得的平面为一个圆环。

圆环的外圆半径为4，内圆的半径为，故圆环的面积为

对于第二个立体，做同样的截面，计算同样的圆环

由勾股定理：外圆的半径，内圆的半径

故圆环的面积为

我们发现，同一平面截两个立体的截面面积相等，故由祖暅原理知：两个立体体积相等！

所以。这样的方法是不是简单的多呢？

这就是祖暅原理及其应用，读者可以自己试着推导球和圆锥的体积练习练习。

最后，制作不易，看没看懂都点个赞呗。