空间垂直定理(空间垂直定理推导过程)

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

如图， 为空间四点，在 中， ，等边三角形 以 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ;

（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.

如图，四面体 中， 是正三角形，

（1）证明： ；

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.

（I）求证∶ ;

如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，

（Ⅰ）证明∶ ;

如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，

（Ⅰ）求证 ;

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

如图，三棱柱 中，

（I）证明∶ ;

如图，三棱柱 中，

（Ⅰ）证明∶ ;

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 底面

（I）证明∶ ;

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 底面

（I）证明∶ ;

如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点.

（1）证明∶ 平面 ;

如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.

（Ⅰ）证明∶ ;

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， . 是底面的内接正三角形， 为 上一点， .

（1）证明∶ 平面 ;

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.

（1）证明∶ ;

如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ， ， 是 上的一点，

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上，

（1）证明∶ 平面 ;

注：理数与文数的第1问完全相同。

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .

（Ⅰ）求证∶ 平面 ;

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.

（I）证明∶ ;

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ， ，点 分别在 上， ， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置，

（I）证明∶ 平面 ;

如图1，在 中， ， 分别是 上的点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.

（Ⅰ）求证： 平面 ;

1、向量垂直公式

向量a=（a1,a2），向量b=（b1,b2）。

a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb（λ是一个常数）。

a垂直b：a1b1+a2b2=0。

2、向量平行公式

向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)。

x1y2-x2y1=0。

a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。

相关信息：

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模(modulus)。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

1、共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3、空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

a=(ax,ay,az)

b=(bx,by,bz)

a≠0

b≠0

如果a，b垂直，那么:

1、ab = ax×bx + ay×by + az×bz = 0 ;或者 ab = |a| |b| cos (π/2) = 0;

2、零向量与任何向量都正交。

拓展资料：

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模(modulus)。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

1、共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3、空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

【方法1】

如果直线与平面垂直，那么直线与平面内任意一条直线都垂直。

【方法2】

三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的垂线在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。

【方法3】

如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线必与另一条垂直。

【方法4】

如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直。

【方法5】

如果两条直线的方向向量的点积为零，则两直线互相垂直。

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

【破解要点】

注意题图中有两个等腰三角形： ;

作 中点 ，根据三线合一则可得两组线线垂直关系： ；

由线线垂直推出线面垂直，再推出线线垂直，即可解决问题Ⅱ.

问题Ⅰ 是一种特殊情况：当平面 平面 时， 是直角三角形，可根据勾股定理解答.

注意：这是众多问题的题根，在高考中已经出现多次。

【破解要点】

注意到本题已知条件中存在两个等腰三角形： ;

其问题2与 2007年文数海南卷题18其实是同一个问题。

【破解要点】

如果把四棱锥 一分为二，就可以得到两个四面体. 在四面体 中， 是等腰三角形.

因此，问题1 实际是2007年文数海南卷题18的重现.

【破解要点】

如果能证明 , 问题1就回到了我们熟悉的 2007年文数海南卷题18, 而这是容易做到的：

在 中， ,

∴ ,

∴

【破解要点：思路一】

作 中点 ，由三线合一推出线线垂直，结合面面垂直，可推出线面垂直关系，再推出线线垂直： ,

然后，可推出三角形全等和线段相等： ,

应用平面几何知识，可推出： .

【破解要点：思路二】

作 中点 ， 中点 ，并连接 .

由面面垂直和线线垂直推出线面垂直和线线垂直： ,

由三线合一推出线线垂直： ,

由线线垂直推出线面垂直： , 再推出新的线线垂直： ,

根据中位线的性质推出： .

.

【破解要点】

从三棱柱 中，可以拆出一个四面体 .

根据题设条件容易证明： 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18

说明：2013年全国卷一，文数与理数的立体几何大题问题1完全相同。

【破解要点】

根据题设条件容易证明： 是等腰三角形，于是，再一次回到了：2007年文数海南卷题18.

说明：2011年全国卷，理数第18题第1问与文数第18题第1问完全相同.

【破解要点】

四棱锥 中，可以拆出一个四面体 .

根据已知条件容易证明： 是直角三角形, .

底面

∵

∴ 平面

∴ .

本题的特色在于：应用平面几何知识推出线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再推出线线垂直.

题中两样存在两个等腰三角形： , 不过，却不是条件，而是结论.

注意：平行四边形 可以拆分为两个三角形，而且是我们熟悉的 的直角三角形.

【破解要点】

本题的特色在于：对于空间想象力有一定要求，这点可能会把一部分学生挡住.

从备考训练的角度来说，最好多练一些这样的题，以增加自己的究竟想象力.

为了帮助大家提高空间想象力，我们特意在此处贴了两个角度的图形.

应用平面几何知识可以推出： 是等腰直角三角形, .

然后，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.

∵ ,

∴ 平面

又∵ 平面 ， ∴

【破解要点】

欲证线线垂直，先证线面垂直；欲证线面垂直，先证线线垂直.

本题的关键在于：用平面几何知识推出 .

如下图所示, 延长 并交 于点 .

∵ 是直角三角形，点 是其斜边上的中点，

∴ ,

,

又∵ 是等腰梯形， ,

∴ ,

∴ ,

∴ .

相对而言，梯形在高考中出场的频率不如平行四边形、矩形和菱形；但出场较少并不等于不考.

要想在高考数学中拿到高分，平面几何一定要过关.