立体几何中常见的建系类型汇总

尝试总结立体几何中常见几何体的建系类型，比如正四面体中、正三棱柱中、四棱锥等中的建系方法，坐标计算方法等，便于学习。

例1【正四面体中的建系】

如图，正四面体\(P-ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)和\(PC\)的中点，则直线\(AE\)与\(PD\)所成角的余弦值是多少？

法1：空间向量法，如图所示，\(PF\perp\)面\(ABC\)，\(F\)为\(\Delta ABC\)的中心，

以点\(D\)为坐标原点，以\(DF\)、\(DB\)以及与\(FP\)平行的直线分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令正四面体的棱长为\(2\)，则得到以下点的空间坐标

\(D(0，0，0)\)，\(A(0，-1，0)\)，\(B(0，1，0)\)，

\(C(-\sqrt{3}，0，0)\)，\(P(-\cfrac{\sqrt{3}}{3}，0，\cfrac{2\sqrt{6}}{3})\)，\(E(-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}，0，\cfrac{\sqrt{6}}{3})\)，

则有\(\overrightarrow{PD}=(\cfrac{\sqrt{3}}{3}，0，-\cfrac{2\sqrt{6}}{3})\)；\(\overrightarrow{AE}=(-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}，1，\cfrac{\sqrt{6}}{3})\)；

令异面直线\(PD\)和\(AE\)的夹角为\(\theta\)，则有\(cos\theta\)

\(=\cfrac{|\cfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot (-\cfrac{2\sqrt{3}}{3})+0\cdot 1+(-\cfrac{2\sqrt{6}}{3}\cdot \cfrac{\sqrt{6}}{3})|}{\sqrt{(\cfrac{\sqrt{3}}{3})^2+(-\cfrac{2\sqrt{6}}{3})^2}\cdot \sqrt{(-\cfrac{2\sqrt{3}}{3})^2+1^2+(\cfrac{\sqrt{6}}{3})^2}}=\cfrac{2}{3}\)。

说明：向量的夹角范围为\([0，\pi]\)，两异面直线的夹角范围\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)。

法2：立体几何法，先作再证后算。

思路：异面直线所成的角，一般是经过平移，使其相交，构建三角形来计算。

过点\(A\)做\(AM//BC\)，过点\(B\)做\(BM//AC\)交\(AM\)于点\(M\)，

点\(F\)、\(H\)、\(G\)分别是线段\(PB\)、\(AM\)、\(BD\)的中点，连接\(HF\)、\(FG\)、\(HG\)，

则有\(EF//==AH\)，则\(AE//FH\)，又\(PD//FG\)，故\(\angle HFG\)为两条异面直线所成的角。

设正四面体的棱长为\(2\)