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1.旋转单叶双曲面
旋转单叶双曲面是直纹面,它的构造有多种方式,先看其中一种: 设直线的参数方程为: 则通过geogebra命令 b=Curve(1,t,2t,t,-5,5)绘制出的直线如图所示,它将作为旋转单叶双曲面的"直纹". 通过命令: a=Surface(b,m,zAxis)绘制曲面,命令表示直线b围绕z轴,旋转m弧度. 当m在 同样的曲面可以由另一种方式构造,设 绕 例如,对于上面的直纹面动图,当t=0时候,直线经过 代入曲面方程,得到 所以,如果我们再得到曲面上的一个点,就可以算出c. 令参数方程 得到 所以最终的曲面方程为: 绘制出来,可以看到它和上面两种方式绘制的直纹面完全重合. 根据计算得到的曲面方程,第二种构造方式: 围绕z轴旋转,得到同一个直纹面的第二种构造方式: 大家熟悉的广州塔,就是一个旋转单叶双曲面,它是一个直纹面,在建筑时不需要弯曲钢筋,而是将其斜向排列即可,证据如下图所示,每个钢梁都是直的: 寻找规律,是不是和上面第一幅动图的绘制i过程很像?环绕的每根柱子都是直柱。 火力发电厂的冷却塔,也是做成了单叶双曲面,目的是最大利用空气流动来提高冷却的效率。 大屯发电厂外景,冷却塔主题。 设计转动轴不互相平行的转动轴: 经典的马鞍面要属方程 表示的双曲抛物面了,它的图形是下面这个样子的: 它也是一个直纹面,直接看可能看不出来,我们可以先找一些特殊位置,比如坐标轴,坐标轴是直的,看上去也再平面上,俯视图如下: 实际上,如果用法向量分别为(0,1,0)和(1,0,0)的平面去截曲面,得到的截线即是直线: 可以试着推一下截线的方程: 对于法向量 根据点法式得到平面方程为: 也就是平面 它与x轴的交点是 联立 所以,直线为经过 使用命令 a=Curve(t,n,n t,t,-10,10)绘制直线,并让直线动起来,观察扫出区域的形状: 对于法向量 根据点法式得到平面方程为: 也就是平面 它与x轴的交点是 联立 所以,直线为经过 两根母线一起绘制,图形更漂亮: 第三种构造方式: 直线f通过z轴并平行于绿色的y轴,动点C位于原点,初始状态如下图,连线CD垂直于翼面直线l和xAxis的方向平面。 在上图的初始状态下,让动点c,d同时开始运动,扫过的区域构成马鞍面: 为了把马鞍面的形状讲透,我们反过来,看实际的马鞍面上是否找到上图所示的两条异面直线,很好找,看下图: 这样的运动方式,两条动直线总有互相垂直的时刻。 我们把垂直时刻的位置抓出来,此时两条互相垂直的异面直线都是马鞍面上的直纹。它们的方向向量分别是 ![]() 构造两条异面直线之间的公垂线,让它动起来: 动线段扫除的轨迹完全贴合原来的马鞍面,所以可以看出,互相垂直的异面直线方式构造马鞍面也是可以的。 受到神经网络里面经常用的sigmoid激活函数的启发,想到另一种构造类马鞍面的方式: sigmoid函数的图形如下: 稍微修改一下,将其值域变为 在三维空间中,构造两个点: 和 构造直线AB, 则AB为从负无穷处到正无穷处旋转180度的直线,它扫过的轨迹非常像马鞍面,究竟是不是我不知道,需要证明。 马鞍面学名叫做双曲抛物面,在经济学中有很重要的应用。 直纹面方程:直纹面(单叶双曲面)的方程通项公式为: 绘制出来是这个样子: 和直线的关系,对式子进行变形: 所以,可以分解为两个一次曲面: 一次曲面是平面,两个方程的意思就是两个平面的交线:
绕 再把旋转球面沿着y轴方向伸缩 倍,便得到椭球方程 为什么冷却塔的形状是双曲面?这就和数学家高斯提出的绝妙定理有关了,我们直到,一张纸可以卷成一个圆柱桶,却不可以变成一个球或者半球,这是因为不论纸张还是圆柱体,它的最凸路线和最凹路线的曲率相乘都是0. 这个曲率K就叫做高斯曲率,对于圆通来说,分别为直线和圆,直线的曲率为0,所以高斯曲率为0,而展平的纸张都是直线,高斯曲率也为0.所以,纸张的形态可以在圆柱桶和平面之间变化。 但是对于球面来说,无论怎样,K1,和K2都不为0,它的高斯曲率为正的,一个高斯曲率为0的面是不可能不经过撕裂,压缩而变化的。所以,球的形态比较固定,不会轻易变化。所以高斯曲率不为0的面具有较强的结构强度和抗变形能力,可以有效避免风力影响。而之所以采用双曲面,是因为它是直纹面,以及具有较好的抗压能力,符合混凝土受力特性。 牟合方盖 |
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