秋高中数学人教A版选修21学案311空间向量及其加减运算 312空间向量的数乘运算.docx

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秋高中数学人教A版选修21学案311空间向量及其加减运算312空间向量的数乘运算

第三章　空间向量与立体几何

向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．

学习目标

1．空间向量及其运算

（1）了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

2．空间向量的应用

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量．

（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

（3）能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

本章重点

空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．

本章难点

用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．

3.1　空间向量及其运算

3.1.1　空间向量及其加减运算3.1.2　空间向量的数乘运算

自主预习·探新知

情景引入　　

1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：

台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：

台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？

新知导学　　

1．空间向量

（1）定义：

在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量．

（2）长度或模：

向量的__大小__.

（3）表示方法：

①几何表示法：

空间向量用__有向线段__表示；

②字母表示法：

用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：

____，其模记为__|a|__或__||__.

2．几类常见的空间向量

名称

方向

模

记法

零向量

__任意__

__0__

__0__

单位向量

任意

__1__

相反向量

__相反__

相等

a的相反向量：

__－a__

的相反向量：

____

相等向量

相同

__相等__

a＝b

3．空间向量的加减法和运算律

（1）加法：

＝__＋__＝a＋b.

（2）减法：

＝__－__＝a－b.

（3）加法运算律：

①交换律：

a＋b＝__b＋a__；

②结合律：

（a＋b）＋c＝__a＋（b＋c）__.

4．空间向量的数乘运算

（1）定义：

实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算．

（2）向量a与λa的关系：

λ的

范围

方向关系

模的关系

λ>0

方向__相同__

λa的模是a的模的__|λ|__倍

λ＝0

λa＝__0__其方向是任意的

λ

方向__相反__

（3）空间向量的数乘运算律：

①分配律：

λ（a＋b）＝__λa＋λb__；

②结合律：

λ（μa）＝__（λμ）a__

5．平行（共线）向量与共面向量

平行（共线）向量

共面向量

定义

位置

关系

表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：

__互相平行或重合__

平行于同一个__平面__的向量

特征

方向__相同或相反__

特例

零向量与__任意向量__共线

充要条件

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__

向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__唯一__的有序实数对（x，y）使__p＝xa＋yb__

推论

对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__＝＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量＝a，则＝__＋t__

点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使＝__x＋y__或对空间任意一点O，有＝__＋x＋y__

预习自测　　

1．下列命题中，假命题的是（　D　）

A．向量与的长度相等

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0

D．在同一条直线上的单位向量都相等

[解析]　在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．

2．下列命题中正确的是（　C　）

A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面

C．零向量没有确定的方向

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb

[解析]　由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．

3．化简下列各式：

（1）＋＋；

（2）－＋；（3）＋＋－.结果为零向量的个数是（　D　）

A．0个　　　B．1个　　　

C．2个　　　D．3个

[解析]　对于

（1），＋＋＝＋＝0；

对于

（2），－＋＝＋＝0；对于（3），＋＋－＝（＋）＋（－）＝＋＝0.

4．（内蒙古赤峰市宁城县2019－2020学年高二期末）在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的是（　A　）

A．－a＋b＋c

B．a＋b＋c

C．a－b＋c

D．－a－b＋c

[解析]　因为利用向量的运算法则：

三角形法则、平行四边形法则表示出＝＋＝c＋（－）＝c－a＋b，选A．

5．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A、B、C三点共面，则λ＝____.

[解析]　由P与A、B、C三点共面，

∴＋＋λ＝1，解得λ＝.

互动探究·攻重难

互动探究解疑　　

命题方向❶　空间向量的有关概念

典例1　

（1）给出下列命题：

①单位向量没有确定的方向；

②空间向量是不能平行移动的；

③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；

④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．

其中正确的是（　C　）

A．①②　　B．②③　　

C．①③　　D．①③④

（2）如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为的所有向量为__，，，，，，，__.

[思路分析]　

（1）依据空间向量的基本概念逐一进行分析；

（2）单位向量的模为1，根据长方体的左右两侧的对角线长均为写出相应向量．

[规范解答]　

（1）①正确，单位向量的方向是任意的．

②错误，空间向量可以平行移动．

③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．

④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等．

（2）由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个．长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.

『规律总结』　处理向量概念问题需注意两点

①向量：

判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．

②单位向量：

方向虽然不一定相同，但长度一定为1.

┃┃跟踪练习1__■

如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

（1）试写出与相等的所有向量；

（2）试写出的相反向量；

（3）若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．

[解析]　

（1）与向量相等的所有向量（除它自身之外）有，及共3个．

（2）向量的相反向量为，，，.

（3）||＝|＋＋|

∴||2＝2＋2＋2＝9

∴||＝3.

命题方向❷　空间向量的加减运算

典例2　如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

（1）－；

（2）＋＋.

[思路分析]　

（1）分析题意，将等价转化为，转化为－，平行四边形法则得出结论．

（2）应用平行四边形法则先求＋，再应用三角形法则求＋.

[规范解答]　

（1）－＝－＝＋＝.

（2）＋＋

＝（＋）＋

＝＋＝.

向量、如图所示．

『规律总结』　化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．

┃┃跟踪练习2__■

（山东潍坊2018－2019学年高二期末）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，设＝a，＝b，＝c，则＝（　B　）

A．a＋b＋c　　B．a－b＋c

C．a＋b－c　　D．－a＋b＋c

[解析]　如图所示，

四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋＝a－b＋c.故选B．

命题方向❸　空间向量的数乘运算

典例3　已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：

（1）＝＋x＋y；

（2）＝x＋y＋.

[思路分析]　由题目可以获取以下主要信息：

①四边形ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；

②用已知向量表示指定向量．

解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y即可．

[规范解答]　如图，

（1）∵＝－

＝－（＋）＝－－，

∴x＝y＝－.

（2）∵＋＝2，∴＝2－.

又∵＋＝2，∴＝2－.

从而有＝2－（2－）＝2－2＋.

∴x＝2，y＝－2.

『规律总结』　1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．

2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．

┃┃跟踪练习3__■

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）＋.

[解析]　

（1）∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

（2）∵N是BC的中点，

∴＝＋＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

（3）∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋

＝－a＋（a＋c＋b）＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，

∴＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c）

＝a＋b＋c.

命题方向❹　共线向量

典例4　如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？

[思路分析]　要判断与是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使＝λ.若存在，则与共线，否则与不共线．

[规范解答]　M、N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋.

又∵＝＋＋＋

＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－.

∴＝＋2＋＝2（＋＋）．

∴＝2，∴∥，即与共线．

『规律总结』　1.判断向量共线的策略

（1）熟记共线向量充要条件：

①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.

（2）判断向量共线的关键是找到实数λ.

2．证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线．

（1）存在实数λ，使＝λ成立．

（2）对空间任一点O，有＝＋t（t∈R）．

（3）对空间任一点O，有＝x＋y（x＋y＝1）．

┃┃跟踪练习4__■

e1，e2为不共线的非零向量，如果a＝4e1－e2，b＝e1－e2，试判断a，b是否共线．

[解析]　∵a＝4e1－e2，b＝e1－e2，

∴a＝4（e1－e2）＝4b，

∴a，b为共线向量．

命题方向❺　共面问题

典例5　正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，用向量方法证明M、N、P、Q四点共面．

[思路分析]　要证M、N、P、Q四点共面，只需证明、、共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λ＋μ＋k＝0.为此，令＝a，＝b，＝c，将、、都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令＝λ＋μ，建立λ、μ的方程组解之．

[规范解答]　令＝a，＝b，＝c，

∵M、N、P、Q均为棱的中点，

∴＝b－a，＝＋＝a＋c，

＝＋＋＝－a＋b＋c.

令＝λ＋μ，则

－a＋b＋c＝（μ－λ）a＋λb＋μc，

∴，∴.

∴＝2＋，因此向量、、共面，

∴四点M、N、P、Q共面．

『规律总结』　1.证明点P在平面ABC内，可以用＝x＋y，也可以用＝＋x＋y，若用＝x＋y＋z，则必须满足x＋y＋z＝1.

2．判定三个向量共面一般用p＝xa＋yb，证明点线共面常用＝x＋y，证明四点共面常用＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1）．

┃┃跟踪练习5__■

如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明E、F、G、H四点共面．

[思路分析]　要证E、F、G、H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使＝x＋y成立．

[解析]　如图，连接BG、EG，则＝，

＝，＝（＋），所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋.

由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．

学科核心素养　　空间向量的线性运算在立体几何中的应用　　

（1）立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．

（2）在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．

（3）解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．

典例6　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：

MN∥平面CDE.

[思路分析]　根据共面向量定理，证明向量平面CDE内两个不共线的向量共面即说明MN∥平面CDE.

[规范解答]　∵点M在BD上，且BM＝BD，

∴＝＝＋.

同理，＝＋.

∴＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.

由于与不共线，

根据向量共面的充要条件可知，，共面．

因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.

『规律总结』　解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．

┃┃跟踪练习6__■

已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α.

[思路分析]　运用共面向量定理先证出与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明MN∥α.

[证明]　因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，

所以在平面α内存在向量a，b，使得＝a，＝b，且两个向量不共线．

由M，N分别是AC，BD的中点，

得＝（＋＋＋＋＋）

＝（＋）＝（a＋b）．

所以，a，b共面，所以MN∥α或MN⊂α.

若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.

易混易错警示　　

典例7　如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为__，，__.

[错解]　因为M为OA的中点，所以＝，

因为＝2，所以＝，

所以＝OM＋＝＋

＝＋（－）

＝＋

＝×＋（＋）

＝＋＋

所以x，y，z的值分别为，，.

[辨析]　错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当．实际上，本题中由N是BC的中点知＝（＋）．

[正解]　∵M为OA中点，∴＝，

∵＝，∴＝

∴＝＋＝＋M＝＋

＝·＋·（＋）

＝＋＋

∴x，y，z的值为，，.