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整体脉络 本册书是在必修第二册基础上，对“代数与几何”主题的进一步研究。 类比于平面向量，首先研究了空间向量，包含空间向量的概念、运算、基本定理及坐标运算。接着，运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题。 ”直线和圆的方程“和“圆锥曲线方程”章节，属于解析几何范畴。在平面直角坐标系中，探索直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何图形的几何要素，利用几何要素建立方程；通过方程，利用代数方法进一步认识它们的性质以及它们的位置关系。 本册的研究对象是几何，研究方法是代数。学生需要逐步体会，用代数问题解决几何问题的主要步骤：1）用向量、坐标、方程等表示几何问题中的几何要素，比如点、圆、直线、椭圆等，把几何问题转化为代数问题2）通过代数运算解决代数问题3）把代数运算的结果转化为几何结论。 第一章 空间向量与立体几何章节脉络必修第二册中，研究了平面向量，实现了几何和代数的统一，并且在立体几何初步章节中，研究了空间几何体的结构特征，以及点线面的位置关系。本章则探讨空间向量，以及如何通过空间向量解决立体几何问题。 知识结构图 重要知识点用空间向量表示点、直线、平面用向量表示空间中的点P：在空间中，取任一点O为基点，那么空间中的任一点P，可用向量OP来表示。用向量表示空间中的直线l：在空间中，取任一点O为基点，那么点P在直线l上的充要条件：存在实数t使得 OP = OA + tAB 其中AB是方向向量用向量表示空间的平面 \alpha ：在空间中，去任一点O为基点，空间一点P位于平面ABC的充要条件：存在实数x,y，使得OP = OA + xAB + yAC。常求的向量向量a在向量b上的投影向量c:c=|a| cos \frac{b}{|b|} 所求c为向量，包含长度和方向，方向即为向量b的单位向量，长度即为|a|*cos平面法向量：建立直角坐标系，找到平面内不共线向量，假设法向量，利用法向量与平面内向量数量积为0，得到结果。空间中，直线的方向向量，平面的法向量是刻画直线与平面的关键量。平行问题直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 判定法则见《高中必修第二册》直线考虑方向向量，平面考虑法向量。垂直问题直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面的法向量垂直 判定法则见《高中必修第二册》直线考虑方向向量，平面考虑法向量距离问题点到直线已知直线l的单位方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，求P到l的距离.过点P做直线l的垂线交于点Q，可知PQ是AP在直线l上的投影，其长度即为P到l的距离。 PQ = \sqrt{|AP|^{2} - |AQ|^{2}} = \sqrt{|a|^{2} - |(a\bullet u)|^{2}} u为l的单位方向向量，a为向量AP 点到平面已知平面 \alpha 的法向量为n，A是平面\alpha内的定点，P是平面\alpha 外一点。求P到平面\alpha的距离。过点P做平面的垂线l上，交平面\alpha 于点Q，则法向量n为直线l的方向向量，点P到平面\alpha的距离为向量AP在直线l上的投影向量QP的长度。 PQ = |AP \bullet \frac{n}{|n|}| = |\frac{AP \bullet n}{|n|}| 角度问题异面直线的夹角转化为：异面直线的方向向量的夹角。 cos\theta = |cos| = |\frac{u\bullet v}{|u||v|}| 直线与面的夹角转化为：方向向量与法向量的夹角， sin\theta = |cos| = |\frac{u\bullet n}{|u||n|}| 两面的夹角转化为：法向量的夹角， sin\theta = |cos| = |\frac{n_{1}\bullet n_{2}}{|n_{1}||n_{2}|}|第二章 直线和圆的方程章节思想笛卡尔和费马创立了解析几何，基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素（点）与代数的基本对象（数）对应起来，在此基础上建立曲线方程（点的轨迹方程），从而把几何问题转化成代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质。 本章在平面直角坐标系中，①探索确定直线位置的几何要素，建立直线方程②通过直线方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离等；③确定圆的几何要素，建立圆的方程，通过圆的方程研究圆的基本问题；④应用直线和圆的方程解决实际问题。 知识结构图 重要知识点直线几何要素：方向、点。从几何直观的角度，引入直线倾斜角；再利用倾斜角与直线上的点的坐标关系，引入直线斜率。——几何问题转为代数问题直线的平行与垂直平行（或两直线重合/三点共线）：两直线平行等价于两直线斜率相等。 l_{1} ∥ l_{2} \Leftrightarrow k_{1}=k_{2} 垂直：两直线垂直等价于两直线斜率乘积为-1. l_{1} \bot l_{2} \Leftrightarrow k_{1}k_{2}=-1 直线方程点斜式：给定直线所过的点 (x_{0}，y_{0}) 及直线斜率k，直线方程为 y-y_{0} = k(x-x_{0}) 两点式：给定直线经过的两点 (x_{1}，y_{1})，(x_{2}，y_{2}) ，直线方程为 \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} =\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} 一般式： Ax + By + C = 0 代数中，研究二元一次方程的解，几何中研究直线的性质，平面直角坐标系将两者关联起来，二元一次方程的每一组解都是平面直角坐标系中一个点的坐标，全体点的集合就是这条直线。直线的交点与距离问题两条直线的交点：两直线方程组成的方程组的解，即为交点坐标。两点间的距离公式：点 P_{1} (x_{1}, y_{1}) 与点 P_{2}(x_{2}, y_{2})的距离 |P_{1} P_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} 点到直线的距离公式坐标法：求点到垂足的距离 \Leftarrow 垂足的坐标表示 \Leftarrow 垂线与直线的交点 \Leftarrow 垂线公式\Leftarrow 垂直的斜率关系向量法：问题转化为求向量的投影向量长度。即给定点 P(x_{0}, y_{0}) 与直线 l 上的点 M(x, y) 的向量PM在直线法向量n上的投影向量的长度。两条平行直线的距离：两条平行直线的距离就是两条直线的公垂线段的距离，在其中一条直线上取点P(x_{0}, y_{0}), 则将问题转化为点到直线的距离。平面几何问题的解决方法向量法：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何转化为向量问题 ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 ③将运算结果“翻译”成几何结论。—— 高中必修第二册坐标法：①建立坐标系，用坐标表示有关的几何元素 ②进行代数运算 ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论圆几何元素：定点、半径圆的标准方程： (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2} 圆的一般方程： x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0 （这里要注意DEF需要满足条件——通过配方得到） 直线与圆的位置关系问题直线与圆的位置关系相交：有两个公共点；相离：没有公共点；相切：只有一个公共点判定方法方法1：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小进行判断 —— 初中方法2：解直线与圆的方程组，根据方程组解的个数进行判断——几何问题转化为代数问题圆与圆的位置关系相交：有两个公共点；相离(外离和内含)：没有公共点；相切(外切和内切)：只有一个公共点第三章 圆锥曲线的方程章节脉络用垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆；如果改变圆锥的轴与截面所成的角，分别可以得到椭圆、抛物线和双曲线。即圆锥曲线。 本章节，首先探究圆锥曲线的几何特征，采用坐标法建立圆锥曲线的方程，通过方程研究圆锥曲线的性质，并解决相关几何及实际问题。体会数形结合，体会坐标法。 对于曲线性质的研究一般都是从范围、对称性、特殊点开始，以了解曲线的形状、大小和位置。  知识结构图 重要知识点 椭圆图1椭圆几何特征：平面内与两个定点 F_{1}、F_{2} 的距离的和等于常数(> |F_{1}F_{2}| )的点的轨迹。给定定点F_{1}、F_{2}，即给定焦距 2c ，固定轨迹点与两定点F_{1}、F_{2}的距离和 2a 。（椭圆图1）标准方程：推导过程(建直角坐标系，基于几何特征推导)\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0) 几何性质——范围方法：利用代数方法研究曲线范围，即利用方程确定曲线上的点的横坐标和纵坐标的取值范围。结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框里，-a\leq x \leq a，-b \leq y\leq b 几何性质——对称性 （轴对称、中心对称）方法：建立坐标轴，如果 P(x,y) 、P_{1}(x, -y) 均满足曲线方程，则该曲线为X轴对称； P(x, y)、P_{2}(-x, y) 均满足方程，则该曲线为Y轴对称；如果 P(x, y)、P_{3}(-x, -y) 均满足方程，则该曲线为原点中心对称。结论：椭圆为轴对称图形，中心对称图形。几何性质——几个点 （椭圆图1）\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)椭圆的焦点 (-c, 0)，(c, 0) 椭圆的长轴顶点 (-a, 0), (a, 0) 椭圆的短轴顶点 (0, -b), (0, b) 几何性质——离心率几何意义：椭圆扁平程度的衡量。结论：固定a，c越接近a，椭圆越扁平；固定c，a越接近c，椭圆越扁平；当a、c扩大或缩小相同的倍数时，椭圆形状不变。离心率：焦距与长轴长的比例成为椭圆的离心率e=\frac{c}{a}双曲线几何特征：平面内，与两个定点 F_{1}、F_{2} 的距离差的绝对值等于非零常数(\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0， b>0) 几何性质——范围几何直观观察：横坐标范围 x\leq -a \ or\ x\geq a ,纵坐标范围 y\in R 代数推导几何性质——对称性中心对称图形（原点）、轴对称图形（坐标轴）几何性质——顶点几何性质——双曲线的渐近线\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0 几何性质——离心率 e=\frac{c}{a} e越大张口越大抛物线几何特征：与定点F的距离 d1 和与定直线 l 的距离 d2 相等的点的轨迹，即抛物线。（ \frac{d_{1}}{d_{2}}=1 ）定点即焦点，直线即准线以经过焦点F且垂直于直线 l的直线(垂足为K)为x轴，以KF的中点为原点，建立直角坐标系。假设 |KF|=p ，焦点F坐标为 (p/2, 0) ， 准线 l的方程为 x=-p/2 .标准方程： y^{2} = 2px几何性质——范围几何性质——对称性 轴对称几何性质——顶点几何性质——离心率=1 M到焦点的距离与M到准线的距离比例求解点M的轨迹方程建立直角坐标系，假设点M的坐标为(x, y)根据已知几何条件列方程，化简后得到轨迹方程。
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