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稳健回归（Robustness regression）
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稳健回归（Robustness regression）
标签（空格分隔）： 监督学习 @ author ： [email protected] @ time : 2016-07-08 稳健回归Robustness regression 最小二乘法的弊端稳健回归 Breakdown point RANSAC随机采样一致性算法Theil-Sen Regression 泰尔森回归 最小二乘法的弊端之前文章里的关于线性回归的模型，都是基于最小二乘法来实现的。但是，当数据样本点出现很多的异常点（outliers），这些异常点对回归模型的影响会非常的大，传统的基于最小二乘的回归方法将不适用。 比如下图中所示，数据中存在一个异常点，如果不剔除改点，适用OLS方法来做回归的话，那么就会得到途中红色的那条线；如果将这个异常点剔除掉的话，那么就可以得到图中蓝色的那条线。显然，蓝色的线比红色的线对数据有更强的解释性，这就是OLS在做回归分析时候的弊端。
当然，可以考虑在做回归分析之前，对数据做预处理，剔除掉那些异常点。但是，在实际的数据中，存在两个问题： 异常点并不能很好的确定，并没有一个很好的标准用于确定哪些点是异常点即便确定了异常点，但这些被确定为异常的点，真的是错误的数据吗？很有可能这看似异常的点，就是原始模型的数据，如果是这样的话，那么这些异常的点就会带有大量的原始模型的信息，剔除之后就会丢失大量的信息。再比如下面这幅图，其中红色的都是异常点，但是很难从数据中剔除出去。
稳健回归（Robust regression），就是当最小二乘法遇到上述的，数据样本点存在异常点的时候，用于代替最小二乘法的一个算法。当然，稳健回归还可以用于异常点检测，或者是找出那些对模型影响最大的样本点。 Breakdown point关于稳健回归，有一个名词需要做解释：Breakdown point，这个名词我并不想翻译，我也没找到一个很好的中文翻译。对于一个估计器而言，原始数据中混入了脏数据，那么，Breakdown point 指的就是在这个估计器给出错误的模型估计之前，脏数据最大的比例 α ，Breakdown point 代表的是一个估计器对脏数据的最大容忍度。 举个简单的例子：有 n 个随机变量，(X1,X2,…,Xn)， 其对应的数据为 (x1,x2,…,xn) ，那么，我么可以求出这 n 个随机变量的均值： X¯¯¯=X1+X2+⋯+Xnn这个均值估计器的Breakdown point 为0，因为使任意一个 xi 变成足够大的脏数据之后，上面估计出来的均值，就不再正确了。 毫无疑问，Breakdown point越大，估计器就越稳健。 Breakdown point 是不可能达到 50% 的，因为如果总体样本中超过一半的数据是脏数据了，那么从统计上来说，就无法将样本中的隐藏分布和脏数据的分布给区分开来。 本文主要介绍两种稳健回归模型：RANSAC（RANdom SAmple Consensus 随机采样一致性）和Theil-Sen estimator。 RANSAC随机采样一致性算法RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），它是一种重采样技术（resampling technique），通过估计模型参数所需的最小的样本点数，来得到备选模型集合，然后在不断的对集合进行扩充，其算法步骤为： 随机的选择估计模型参数所需的最少的样本点。估计出模型的参数。找出在误差 ϵ 内，有多少点适合当前这个模型，并将这些点标记为模型内点如果内点的数目占总样本点的比例达到了事先设定的阈值 τ ，那么基于这些内点重新估计模型的参数，并以此为最终模型， 终止程序。否则重复执行1到4步。RANSAC算法是从输入样本集合的内点的随机子集中学习模型。 RANSAC算法是一个非确定性算法（non-deterministic algorithm），这个算法只能得以一定的概率得到一个还不错的结果，在基本模型已定的情况下，结果的好坏程度主要取决于算法最大的迭代次数。 RANSAC算法在线性和非线性回归中都得到了广泛的应用，而其最典型也是最成功的应用，莫过于在图像处理中处理图像拼接问题，这部分在Opencv中有相关的实现。 从总体上来讲，RANSAC算法将输入样本分成了两个大的子集：内点（inliers）和外点（outliers）。其中内点的数据分布会受到噪声的影响；而外点主要来自于错误的测量手段或者是对数据错误的假设。而RANSAC算法最终的结果是基于算法所确定的内点集合得到的。 下面这份代码是RANSAC的适用实例： # -*- coding: utf-8 -*- """ author : [email protected] time : 2016-07-07-15-36 """ import numpy as np import time from sklearn import linear_model,datasets import matplotlib.pyplot as plt # 产生数据样本点集合 # 样本点的特征X维度为1维，输出y的维度也为1维 # 输出是在输入的基础上加入了高斯噪声N（0,10） # 产生的样本点数目为1000个 n_samples = 1000 X, y, coef = datasets.make_regression(n_samples=n_samples, n_features=1, n_informative=1, noise=10, coef=True, random_state=0) # 将上面产生的样本点中的前50个设为异常点（外点） # 即：让前50个点偏离原来的位置，模拟错误的测量带来的误差 n_outliers = 50 np.random.seed(int(time.time()) % 100) X[:n_outliers] = 3 + 0.5 * np.random.normal(size=(n_outliers, 1)) y[:n_outliers] = -3 + 0.5 * np.random.normal(size=n_outliers) # 用普通线性模型拟合X，y model = linear_model.LinearRegression() model.fit(X, y) # 使用RANSAC算法拟合X,y model_ransac = linear_model.RANSACRegressor(linear_model.LinearRegression()) model_ransac.fit(X, y) inlier_mask = model_ransac.inlier_mask_ outlier_mask = np.logical_not(inlier_mask) # 使用一般回归模型和RANSAC算法分别对测试数据做预测 line_X = np.arange(-5, 5) line_y = model.predict(line_X[:, np.newaxis]) line_y_ransac = model_ransac.predict(line_X[:, np.newaxis]) print "真实数据参数：", coef print "线性回归模型参数：", model.coef_ print "RANSAC算法参数： ", model_ransac.estimator_.coef_ plt.plot(X[inlier_mask], y[inlier_mask], '.g', label='Inliers') plt.plot(X[outlier_mask], y[outlier_mask], '.r', label='Outliers') plt.plot(line_X, line_y, '-k', label='Linear Regression') plt.plot(line_X, line_y_ransac, '-b', label="RANSAC Regression") plt.legend(loc='upper left') plt.show()
运行结果为： 真实数据参数： 82.1903908408 线性回归模型参数： [ 55.19291974] RANSAC算法参数： [ 82.08533159] Theil-Sen Regression 泰尔森回归Theil-Sen回归是一个参数中值估计器，它适用泛化中值，对多维数据进行估计，因此其对多维的异常点（outliers 外点）有很强的稳健性。 一般的回归模型为： y=α+βx+ϵ其中， α,β 模型的参数，而 ϵ 为模型的随机误差。 Theil-Sen回归则是这么处理的： β=Median{yi−yjxi−xj:xi≠xj,i |
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