稠密集和疏朗集

在讨论度量空间的稠密性的时候，涉及到一些概念，下面我们逐一进行讨论一下，以区分不同，方便理解和记忆。

(一)稠密：设R是度量空间，A及E是R中的点集。如果E中的任何一点的任何环境都含有集A中的点，就称A在E中稠密。教材里面好像也称呼A为稠密子集。仔细推敲这个概念，需要特别注意的是A和E都是一个度量空间的点集，而且它们之间可能不相交，也可能不相交，另外就是特别注意两个任何，也就是E中的任何一点的任何环境，两个任何体现了E中点的任意性和该点对应环境的任意性。第一个任何可以理解，第二个任何需要强调的是该点的环境可以任意小。那么该点的环境指的是什么呢？这个特别要注意，这个环境指的是E中一点x，也是R中的点，以该点为中心，以r(>0)为半径的球，不是在E中的球，我们看教材环境的定义，针对的是度量空间中某一点的环境，对于度量空间中的点集，只要不是子空间，我们是没有环境概念的，也就是环境不是在E中的概念，环境只能是空间中的概念。我们举一个例子，A是有理数集合，E是无理数集合，根据稠密的概念，E中任何一点在R中的任何环境都必然包含一个有理数，也就是包含A中的点，因此有理数点集在无理数点集中稠密。而有理数点集和无理数点集并不相交。

(二) 可析点集：R是度量空间，A是R中的点集。如果R中存在有限点集或可列点集在A中稠密，就称A为可析点集。这个概念比较明确和好理解，就是A中只要能够挑选可列点集在A中稠密，或者在R中能够挑选一些可列点集在A中稠密，就称A为可析点集。举一个例子，实数空间中，无理数子集就是可析点集，因为实数空间中可以挑选可列的有理数点集在无理数子集中稠密，给定一个区间也是可析点集，因为该区间可以抽取所有有理数点集在该区间稠密。因此抽取的可列点集可以属于该可析点集，也可以不属于，但是一定要属于该子集所在的度量空间。

(三) 可析空间：这个概念简单，也就是一个度量空间存在一个可列点集在该空间中稠密就是了。比如实数空间就是可析空间，一个度量空间的子空间也可能是可析空间。

(四) 疏朗集：R是度量空间，A是R的子集。如果A不在R的任何一个非空的开集中稠密，那么A称作疏朗集。此时称为疏朗集应该注意是相对于一个空间而言的，此外需要注意4点：任何，非空，开集，稠密。我们还是举一个例子说明一下。假设区间[-1,1]是一个子空间，那么{0｝是疏朗集吗？思考疏朗集的概念，0是否在[-1,1]中的任何一个开集中稠密？首先观察在(-1/3,1/3)中稠密吗？不稠密，虽然0在这个开区间内，但是在这个开集中随便找一个开集，比如(1/4,1/3)，0就不在该开集中，也就是不满足在该开集中稠密。因此0在[-1,1]的任何一个开集中都不稠密。因此{0}不是疏朗集，也不是稠密子集。在这个概念中，我们最应该注意的是A不在开集中稠密的含义，不要理解成A中有的点属于开集，也就是不要理解成A和任何开集有交点。