2019

2023-08-26 02:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

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数学科学学院, 17级数学与应用数学(非师范)专业2班地点：综合楼306 时间：1-18周，周四下午5-7节，3课时/周, 共计54课时.

教材：实变函数与泛函分析基础(第三版), 程其襄、张奠宙等编, 高等教育出版社, 2010, ISBN: 9787040292183. 习题参考答案点击下载

参考材料：【1】泛函分析，胡适耕编著, 高等教育出版社, 2001, ISBN: 9787040102956. (有配套的辅导书《实变函数与泛函分析：定理·方法·问题》) 【2】实变函数与泛函分析, 郭大钧、黄春朝等编, 山东大学出版社，2005， ISBN: 9787560729879. 【3】泛函分析讲义（上册）, 张恭庆、林源渠编著, 北京大学出版社, 2001, ISBN: 9787040183030. 【4】实变函数论与泛函分析（下册·第二版修订本）, 夏道行、吴卓人等编著, 高等教育出版社出版社, 2010, ISBN: 9787040272482. 【5】线性与非线性泛函分析及其应用（上册）, [法] Philippe G.Ciarlet 著, 秦铁虎、童裕孙译, 高等教育出版社, 2017, ISBN: 9787040477481. 【6】Introduction to Functional Analysis, 2ed, reprint ed, Angus E. Taylor, R.E. Krieger Pub. Co, 1986, ISBN: 0898749514. 【7】泛函分析——理论和应用, Haim Brezis 著, 叶东、周风译, 清华大学出版社, 2009, ISBN: 9787302167204. (英文影印版国内已出版泛函分析、索伯列夫空间和偏微分方程)

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第1周第2周第3周第4周第5周第6周第7周第8周第9周第10周第11周第12周第13周第14周第15周第16周

第1周

定义(等价距离)：设集合\(X\)上有两种距离：\(d_1\), \(d_2\). 如果\(X\)中按距离\(d_1\)收敛的点列\(\{x_n\}\)都在距离\(d_2\)下收敛于同一点, 并且按距离\(d_2\)收敛的点列\(\{x_n\}\)都在距离\(d_1\)下收敛于同一点, 即

\[d_1(x_n,x)\to 0 \Longleftrightarrow d_2(x_n,x)\to 0, \]

则称距离\(d_1\)和\(d_2\)等价.

(1) 设\(d(x,y)\)是集合\(X\)上的距离, 令

\[\tilde{d}(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. \]

证明: \(\tilde{d}(x,y)\)也是\(X\)上的距离, 并且\(\tilde{d}\)与\(d\)等价.

(2) 在\(\Bbb{R}^N\)中可定义两种距离：

\[d_1(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^N \left|\xi_i-\eta_i\right|^2}, \]

\[d_2(x,y)=\max_{1\leq i\leq N}\left|\xi_i-\eta_i\right|, \]

其中\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_N)\in \Bbb{R}^N,\) \(y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_N)\in \Bbb{R}^N.\) 证明：\(d_1\)和\(d_2\)等价.

第2周设\(P_r[a,b]\)是定义在闭区间\([a,b]\)上的所有有理系数多项式函数的全体. 显然, \((P_r[a,b],d)\)是连续函数空间\((C[a,b],d)\)的距离子空间, 其中

\[d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}\left|f(t)-g(t)\right|,\quad \forall f,g\in C[a,b]. \]

证明: \(P_r[a,b]\)是\(C[a,b]\)的可数稠密子集, 从而\(C[a,b]\)可分.

按以下步骤证明

Riemann-Lebesgue引理: 设\(f\in L[a,b]\), 对应的Fourier系数为

\[a_n=\int_a^b f(x)\sin nx {\rm d}x,\quad b_n=\int_a^b f(x)\cos nx {\rm d}x,\quad n\in \Bbb{N}, \]

则\(a_n,\,b_n\to 0 \quad (n\to\infty)\).

Step1. 若\(f\)是\([a,b]\)上的简单函数(P80定义3), 证明上述结论成立. Step2. 设\(S[a,b]\)是定义在闭区间\([a,b]\)上的简单函数的全体. 显然, \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的距离子空间, 其中距离

\[d(f,g)=\int_a^b |f(t)-g(t)|{\rm d}t,\quad \forall f,g\in L[a,b]. \]

证明: \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的稠密子集.

Step3. 利用稠密性, 证明Riemann-Lebesgue引理成立. 第3周

设\((X,d)\)是度量空间, \(\{x_n\}\)是\((X,d)\)中的Cauchy点列, 证明: \(\{x_n\}\)收敛当且仅当\(\{x_n\}\)存在收敛子列.

设\(f\)是度量空间\((X,d)\)到\(\Bbb{R}\)的连续映射, \(M\)是\(X\)中的紧集, 证明: 连续映射\(f\)在紧集\(M\)上能够取到最值, 即存在\(x_0,x_1\in M\)使得

\[f(x_0)=\min_{x\in M}f(x),\quad f(x_1)=\max_{x\in M}f(x). \]

定义(Hölder连续函数): 设\(\alpha\in (0,1]\). 若\(f\in C[a,b]\)满足

\[[f]_\alpha=\sup_{x,y\in[a,b],\ x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}0\). 令

\[\begin{array}{rcl} U(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|

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