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极限类题之积分上限的函数的极限
所谓积分上限函数，无非就是自变量出现在了积分上限的位置上. 如果纯粹地让你求一个积分上限函数的极限，实际上就是求反常积分的值，可以先求原函数再求极限. 而我们在此讨论的，主要是积分上限函数出现在分式中的情况.一般来说，这种题型是
0
0
\frac 00
00型的. 我们一般不把积分上限函数当成定积分，计算出它的值再求极限，这样不仅太麻烦，而且对于许多题目来说是不可能的. 我们有更先进的方法，就是洛必达法则. 为什么这么说呢？因为你如果要用洛必达法则，就一定要对积分上限函数求导，而它的导数是很好得到的——积分上限函数
ϕ
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
\phi(x) = \int_a^x{f(t)dt}
ϕ(x)=∫axf(t)dt的导数，恰好就等于
f
(
x
)
f(x)
f(x).这就大大的减少了你求原函数耽误的时间。
比如求极限 lim x → 0 ∫ 0 x c o s t 2 d t x \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x{cost^2dt}}{x} \quad limx→0x∫0xcost2dt这就是一个 0 0 \frac 00 00型的极限，洛必达法则的三个使用条件在这一部分题目中一般都是成立的. 开始分别求导，分母的导数就是 1，分子的导数就是 c o s x 2 cosx^2 cosx2，所以 lim x → 0 ∫ 0 x c o s t 2 d t x = lim x → 0 c o x 2 1 = 1. \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x{cost^2dt}}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{cox^2}{1}=1. x→0limx∫0xcost2dt=x→0lim1cox2=1. 来一个稍难一点的：求极限 lim x → 0 ∫ c o s x 1 e − t 2 d t x 2 \lim_{x \to 0} \frac{\int_{cosx}^1 {e^{{-t}^2}dt}}{x^2} limx→0x2∫cosx1e−t2dt。这个也是 0 0 \frac 00 00型的极限，但分子上并不是积分上限函数. 为了给它求导方便，我们把它变成一个标准的积分上限函数. 首先，把下限的变量变到上限 lim x → 0 ∫ c o s x 1 e − t 2 d t x 2 = − lim x → 0 ∫ 1 c o s x e − t 2 d t x 2 \lim_{x \to 0} \frac{\int_{cosx}^1 {e^{{-t}^2}dt}}{x^2}=-\lim_{x \to 0} \frac{\int_1^{cosx} {e^{{-t}^2}dt}}{x^2} limx→0x2∫cosx1e−t2dt=−limx→0x2∫1cosxe−t2dt 其次容易观察，分子是由函数 y = − ∫ 1 u e − t 2 d t y=-\int_1^u {e^{{-t}^2}dt} y=−∫1ue−t2dt(积分上限函数)和 u = c o s x u=cosx u=cosx复合而成的，根据复合函数的求导法则，就有 d y d x = d y d u × d u d x = − e − u 2 × ( s i n x ) = s i n x ⋅ e − c o s 2 x \frac {dy}{dx}=\frac {dy}{du}\times\frac {du}{dx}=-e^{{-u}^2}\times(sinx)=sinx\cdot e^{{-cos}^2x} dxdy=dudy×dxdu=−e−u2×(sinx)=sinx⋅e−cos2x .分母的导数容易，是 2 x 2x 2x. 所以有 lim x → 0 ∫ c o s x 1 e − t 2 d t x 2 = lim x → 0 s i n x ⋅ e − c o s 2 x 2 x = lim x → 0 s i n x 2 x ⋅ 1 e c o s 2 x = 1 2 e \lim_{x \to 0} \frac{\int_{cosx}^1{e^{{-t}^2}dt}}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{sinx\cdot e^{{{-cos}^2}x}}{2x}=\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{2x}\cdot \frac{1}{e^{{{cos}^2}x}}=\frac{1}{2e} x→0limx2∫cosx1e−t2dt=x→0lim2xsinx⋅e−cos2x=x→0lim2xsinx⋅ecos2x1=2e1 遇到 0 0 \frac 00 00型的积分上限函数，就考虑洛必达法则；对于不是标准形式的“伪”积分上限函数，通过交换积分上下限、复合函数分析等一系列手段，把它化成积分上限函数，再求导. 下面再举看简单的例子： lim x → ∞ 1 x ∫ 0 x ( 1 + t 2 ) e t 2 − x 2 d t = lim x → ∞ ∫ 0 x ( 1 + t 2 ) ⋅ e t 2 d t x ⋅ e x 2 = lim x → ∞ ( 1 + x 2 ) ⋅ e x 2 ( 1 + 2 x 2 ) ⋅ e x 2 = lim x → ∞ 1 + x 2 1 + 2 x 2 = 1 2 \lim_{x \to \infty} \frac1x \int_0^x{(1+t^2)e^{{t}^{2}-x^{2}}dt}=\lim_{x \to \infty} \frac{\int_0^x {(1+t^2)\cdot e^{{t}^2}dt}}{x \cdot e^{{x}^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac {(1+x^2) \cdot e^{{x}^2}}{(1+2x^2)\cdot e^{{x}^2}}=\lim_{x \to \infty }\frac{1+x^2}{1+2x^2}= \frac12 x→∞limx1∫0x(1+t2)et2−x2dt=x→∞limx⋅ex2∫0x(1+t2)⋅et2dt=x→∞lim(1+2x2)⋅ex2(1+x2)⋅ex2=x→∞lim1+2x21+x2=21 |
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