概率论知识回顾（十一）：边缘密度函数，条件密度函数及其独立性

根据上面的公式有:

F X ∣ Y ( x ∣ y ) = P { X ≤ x ∣ Y = y } = P { X ≤ x , Y = y } P { Y = y } = lim ⁡ Δ y → 0 + P { X ≤ x , y ; Y ≤ y + Δ y } P { y ; Y ≤ y + Δ y } = lim ⁡ Δ y → 0 + F ( x , y + Δ y ) − F ( x , y ) F ( + ∞ , y + Δ y ) − F ( + ∞ , y ) = lim ⁡ Δ y → 0 + ∫ − ∞ x ∫ y y + Δ y f ( u , v ) d u d v ∫ − ∞ + ∞ ∫ y y + Δ y f ( u , v ) d u d v = lim ⁡ Δ y → 0 + ∫ − ∞ x ∫ y y + Δ y f ( u , v ) d u d v / Δ y ∫ − ∞ + ∞ ∫ y y + Δ y f ( u , v ) d u d v / Δ y = ∫ − ∞ x f ( u , y ) d x ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x = ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u \begin{aligned}F_{_{X|Y}}(x|y) ;= P\begin{Bmatrix} X \le x | Y = y \end{Bmatrix} \\ ;= \frac{P\begin{Bmatrix} X \le x , Y = y \end{Bmatrix}}{P\begin{Bmatrix} Y = y \end{Bmatrix}} \\ ;= \lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{P\begin{Bmatrix} X \le x, y;Y\le y + \Delta y \end{Bmatrix}}{P \begin{Bmatrix} y;Y\le y + \Delta y\end{Bmatrix}} \\;=\lim_{\Delta y \rightarrow 0^+} \frac{F(x, y+\Delta y) - F(x, y)}{F(+\infty, y + \Delta y) - F(+\infty, y)} \\ ;=\lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{\int_{-\infty}^x\int_{y}^{y + \Delta y}f(u, v)dudv}{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y}^{y+\Delta y}f(u, v)dudv} \\;= \lim_{\Delta y \rightarrow 0^+}\frac{\int_{-\infty}^x\int_{y}^{y + \Delta y}f(u, v)dudv/\Delta y}{\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y}^{y+\Delta y}f(u, v)dudv/\Delta y} \\ ;= \frac{\int_{-\infty}^{x}f(u,y)dx}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)dx} = \int_{-\infty}^{x}\frac{f(u, y)}{f_{_Y}{(y)}}du\end{aligned} FX∣Y​​(x∣y)​=P{X≤x∣Y=y​}=P{Y=y​}P{X≤x,Y=y​}​=Δy→0+lim​P{y