【概率论学习笔记】

主要讨论二维的情况。

设 (\xi,\eta) 为离散型随机向量， z=g(x,y) 为二元 \mathrm{Borel} 函数，令 \zeta=g(\xi,\eta) ，则：

P\{\zeta=z_k\}=P\{g(\xi,\eta)=z_k\}= \displaystyle\sum \limits_{g(x_i,y_j)=z_k}P\{\xi=x_i,\eta=y_j\}\,\,\,\,\,k=1,2...

定理（离散卷积公式）

设 \xi 与 \eta 是相互独立的随机变量，它们都取非负整数值，其概率分别为 \{a_k\}

\{b_k\} ，即 P\{\xi=k\}=a_k ， P\{\eta=k\}=b_j\,\,\,k=0,1,2... ，则 \zeta=\xi+\eta 的概率分布为

P\{\zeta=r\}=P\{\xi=0,\eta=r\}+P\{\xi=1,\eta=r-1\}+...+P\{\xi=r,\eta=0\}=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^r a_ib_{r-i}\,\,\,\,\,r=0,1,2...

这就是求独立随机变量和的分布的公式——离散卷积公式。

容易利用这个式子得到二项分布和 \mathrm{Poisson} 分布的再生性，即：

\xi_1\sim B(n_1,p),\xi_2\sim B(n_2,p) \Rightarrow \xi_1+\xi_2 \sim B(n_1+n_2,p) \\ \xi_1\sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1),\xi_2\sim \mathrm{Poisson}(\lambda_2) \Rightarrow \xi_1+\xi_2 \sim \mathrm{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)

二元连续随机向量 (\xi,\eta) 的联合密度函数为 p(x,y) ， z=g(x,y) 为二元 \mathrm{Borel} 函数，令 \zeta=g(\xi,\eta) ，则

F_{\zeta}(z)=P\{\zeta