【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】

在上一篇连载里面知道了如何计算线电流在周围产生的磁场，那么，如果电流的分布不是线，而是体分布或者是面分布，那怎么办呢？这里我们将引入体电流密度和线电流密度。

我们先画一个连载的功夫弄明白什么是电流密度，因为这个概念在磁场以及后续电生磁中将会经常用到。

首先，我们看看在电路理论里面关于电流的定义—— 电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。

我们知道：导体中可以传导电流，那么后面我们先以导体为例。那么导体又可以有很多形态了 —— 比如说：体、面和线。 如下图所示： 那么，我刚刚不是说——电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。那么，体形态的导体，其横截面就是一个面、面形态的导体其横截面就是一条线；而线形态的导体其横截面就是一个点。

而我们再看看电流密度的概念：电流密度矢量是垂直于电流方向的单位横截部分上穿过的电流。这里我们再把概念拆解一下—— 电流可能流于体导体、面导体和线导体；那么对应的横截面就是：面、线和点；那么单位横截部分就对应着：单位面、单位线距离和一个点。

既然有了这样的理解，那么下面我们先以体电流为例子：

这个上面那个体形态的导体的横截面。下面看一下立体图：

因为横截面是一个面，那么我们可以取一个小的面积元 △ S △S △S，当这个微元面积趋于0时，那么也就相当于趋近一个点了。那么到底有多少电流从导体内部穿出了这个微元面呢？—— 这又是通量的概念了！

对于体形态的导体而言，电流密度准确的说应该是体电流密度。体电流密度的大小是垂直于 J ˉ \bar{J} Jˉ 的单位面积上穿过的电流。那么穿过面积为 △ S △S △S 的电流数就应该是： 其中， d S ˉ = n ˉ ⋅ d S \bar{dS} = \bar{n} \sdot dS dSˉ=nˉ⋅dS， n ˉ \bar{n} nˉ 是那个小面积的单位法向。那么很自然地，这个横截面 S 上的总电流就可以写成： 那么，既然电流是运动电荷而产生的，那么体电流也必然可以用运动电荷来描述：

这个圆柱是我在上面那个体型导体里面取出来的一个小的微元体积。那么在单位时间内穿过这个微元的电荷的数目就是： d q = ρ v v d t d S dq = ρ_vvdtdS dq=ρv​vdtdS 那么很自然， d I = d q d t = ρ v v d S dI = \frac{dq}{dt} = ρ_vvdS dI=dtdq​=ρv​vdS

因为对于体电流密度而言，是衡量穿过垂直于电流方向的单位面积的电流。故： J = d I d S = ρ v v J = \frac{dI}{dS} = ρ_vv J=dSdI​=ρv​v 那么矢量形式就是： J ˉ = ρ v v ˉ \bar{J} = ρ_v\bar{v} Jˉ=ρv​vˉ

搞明白了体电流密度，下面我们来看面电流密度 有了体电流密度的概念，面电流密度也很好理解了—— 所谓面电流，就是电流是在一个厚度可以忽略不记的导体面上流动的，那么这个导体的横截部分就是上图中的黄色部分——是一根线！

而面电流密度，就是在这条线上，单位长度内流过的电流。

那么，在这个黄线上一小段线微元 d l dl dl 内通过的电流就可以表示为： d I = J s ˉ ⋅ d l ˉ dI = \bar{J_{s}} \sdot \bar{dl} dI=Js​ˉ​⋅dlˉ 那么总的面电流就可以用线积分表示： I = ∫ l J s ˉ ⋅ d l ˉ I = \int_l \bar{J_s} \sdot \bar{dl} I=∫l​Js​ˉ​⋅dlˉ

同理，我们也可以用运动电荷的思路计算面电流： J s = ρ v s ⋅ v J s ˉ = ρ v s ⋅ v ˉ J_s = ρ_{vs} \sdot v\\ \quad\\ \bar{J_s} = ρ_{vs} \sdot \bar{v} Js​=ρvs​⋅vJs​ˉ​=ρvs​⋅vˉ 其中， ρ v s ρ_{vs} ρvs​表示运动电荷的面密度。

至于线电流，因为他的横截部分就是一个点了，那么是没有对应的所谓 “线电流密度” 的。我们就只能通过运动电荷的观点来计算线电流，即： I = ρ v l ⋅ v I = ρ_{vl} \sdot v I=ρvl​⋅v

好啦！了解了体电流密度和面电流密度之后，理论上我们就可以利用比奥-萨法尔定理计算任意分布的磁场了：

但是大家注意到了吗 —— 这样的计算都涉及到了积分运算，颇为复杂，那么有没有更加简便的方法计算磁场呢？那么在下一个连载里面，我们就详细地介绍安培环路定理。