外磁场对磁矩的合力怎么算？《张朝阳的物理课》推导外磁场中磁矩的势能公式

如果原子分子的电子自旋没有完全配对或由于电子轨道使得整体有个角动量，由磁矩与角动量的关系可知该原子分子会有磁矩。对于具有磁矩的原子分子所组成的磁介质，根据上述的力矩公式可知，外加磁场可以使得介质中的原子分子的磁矩沿着磁场方向转动，这样就使得原先杂乱无章的磁矩在统计上沿同一方向排列，使得磁介质具有沿着B方向的磁化，通常称这种材料具有顺磁性。

这里值得一提的是，磁介质里的磁矩原本就具有角动量，受到外磁场施加的力矩的作用时，并不是简单地直接转向外磁场方向，而是会发生绕外磁场方向的进动，这个进动其实等效于附加一个反向电流，与抗磁介质一样会产生一定的抗磁性，但这种抗磁效应相比于顺磁效应太弱了，以致可以忽略不计。

（张朝阳解释顺磁性与抗磁性以及磁矩进动）

另外，抗磁性与顺磁性不仅仅体现在诱导出的磁矩的方向。若考虑外磁场是由一个磁铁产生，抗磁介质也等效于一个小磁铁，那么根据磁铁的磁力线以及磁极在磁力线的受力规律，可知抗磁介质会与磁铁相互排斥，这种相互抵抗的性质也体现出了抗磁性。同样利用磁力线分析，顺磁介质会与磁铁相互吸引，这也体现出了顺磁性。

建立坐标系与线性展开 计算外磁场中磁矩势能

实际上磁荷是不存在的，磁力线只是法拉第提出的形象化描述，张朝阳之前已经讲解过电磁学更加定量化更加深刻的麦克斯韦方程组以及洛伦兹力，所以接下来用更加本质的物理规律来定量推导磁矩在外磁场中的受力公式。

类似上节课推导外磁场中力矩公式一样，仍然以圆形电流环为模型进行磁偶极子受力的计算，这节课也如下图所示建立相同的直角坐标系：

（张朝阳建立直角坐标系计算外磁场中磁矩的受力）

如图选择特殊方向的坐标轴，使得环形电流所在的平面为xy面，外恒定匀强磁场B₀处在yz平面内。那么电荷微元的位置r、电荷微元的速度v以及磁场B₀可用球坐标系的角度坐标表示为：

其中矢量i、j、k分别代表x轴、y轴、z轴方向的单位向量，它们之间的叉乘满足：

设线电荷密度为λ，长度为dl的电荷微元的电荷为λdl，根据洛伦兹力公式可知电荷微元在外磁场B中受到的力为：

其中，第二个等号的推导可以参见上节课的推导。

那么将所有电荷微元求和得到电流环受到的合外力为：

这说明在匀强磁场中磁偶极子受到的合外力为零。接下来考虑外磁场B非均匀的情况，设电流环中心的磁场为B₀，那么外磁场可分解为：

其中ΔB在电流环中心为ΔB=0。

那么电流环受到的合外力为：

其中，最后一个等号用到了前面匀强磁场的对磁矩外力合为零的结论。

为了进一步进行计算，张朝阳将磁场ΔB用直角坐标的基矢量i、j、k展开：

结合前面电荷微元的运动速度v的表达式，可将合外力进一步化为如下形式：

其中，最后一个等号用到了dl的极坐标表达式dl=rdΦ。

接下来分开考虑上式的两个积分，先来考虑第一个关于ΔBx与ΔBy的积分。由于电流环非常小，所以可以将磁场ΔBx按照到电流环中心的距离进行泰勒展开并只保留到一阶项：

上式中，由于ΔBx与Bx相差一个常数，所以关于ΔBx的偏导等于关于Bx的偏导，并且因为这里是以电流环中心的展开，所以偏导取的是电流环中心的值，另外零阶项ΔBx=0。由于前面的积分只沿着xy平面上的电流圆圈进行，z坐标恒为0，所以泰勒展开时不必考虑对z的偏导数。另外，上式第二个等号用到了先前给出的位置r的坐标表达式。

同理，将磁场ΔBy也可写成：

将ΔBx与ΔBy的具体表达式代入F中关于ΔBx与ΔBy的积分中，得到：

进一步利用散度定理：

可以将关于ΔBx与ΔBy的积分化简成：

（张朝阳将磁场线性展开以计算磁矩受力公式）

计算完第一个积分后，张朝阳开始计算第二个积分，即关于ΔBz的积分。与ΔBx一样，将ΔBz线性展开成：

将ΔBz的线性表达式代入关于ΔBz的积分中：

到此，F中出现的两个积分都计算完成，将积分结果带回F的表达式中：

其中，最后一个等号用到了梯度的定义。

另外，根据磁矩的定义，注意到环形电流的磁矩为：

其中，最后一个等号用到了电流公式I=λv

可以明显看出，磁矩与B的点乘即为F中的除了▽算符的项：

于是，磁矩在外磁场中受到的合外力为：

注：推导过程中磁场的泰勒展开只保留到了一阶项，所以对于有限大电流环F实际上忽略了高阶项，但可以将电流环的半径趋于零（同时增大电流使得磁矩保持不变）得到磁偶极子，此时高阶项的贡献就为零了。

若进一步根据势能与力场的关系F=-▽U，可以写出磁矩在外磁场中的势能U公式：

顺磁介质的磁矩μ与外磁场B方向相同，越靠近磁铁的磁极B越大，根据上述势能公式可得越靠近磁铁势能U越小，所以顺磁介质受到的外磁场力是指向磁极的，磁介质与磁铁有相互吸引的力，体现出顺磁性。而抗磁介质的磁矩μ与外磁场B的方向相反，越靠近磁极势能U越大，抗磁介质与磁铁之间有相互排斥的力，这种抵抗性体现出抗磁性。这与法拉第磁力线得出的结论一致。除此之外，在量子力学中，磁矩在外磁场中的势能公式也非常重要，揭示了非常多的量子现象。

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