Nabla算符笔记（二点五

对于稳恒的磁场问题，我们一般选取库伦规范，这样形式比较简单，这时候有

\nabla^2\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}

在三维全空间且限定无穷远处电流密度为零的情况下有解

\boldsymbol{A(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{J(\boldsymbol{r}')}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}{\rm d}V'

其中 \boldsymbol{r} 是要求磁矢势的那一点的位矢， \boldsymbol{r}' 是所取的电流微元所在位置的位矢， V' 是存在电流的区域 对于线电流和面电流，有

\boldsymbol{A(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}{\rm d}\boldsymbol{l}'\overset{\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0}{=}\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\frac{{\rm d}\boldsymbol{l}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}

\boldsymbol{A(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{K}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|}{\rm d}a'

需要注意的是，以上的式子都限定了无穷远处电流密度为零,对于无穷远处电流密度不为零的情况，可以计算诸如有限长电流的磁矢势，但比如无限长通电螺线管，我们需要另外找方法 由斯托克斯公式

\oint\boldsymbol{A}\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}=\iint(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot{\rm d}\boldsymbol{a}=\iint\boldsymbol{B}\cdot{\rm d}\boldsymbol{a}=\Phi

对于通电流 I ，单位长度匝数 n ，半径为 R 的通电螺线管

\oint\boldsymbol{A}\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}=2\pi rA

\iint\boldsymbol{B}\cdot{\rm d}\boldsymbol{a}=\begin{cases}\mu_0nI\pi r^2\quad(r\lt R)\\\mu_0nI\pi R^2\quad(r\gt R)\end{cases}

故

\boldsymbol{A}=\begin{cases}\frac{\mu_0nI}2r\hat{e_\varphi}\quad(r\lt R)\\\frac{\mu_0nI}2\frac{R^2}{r}\hat{e_\varphi}\quad(r\gt R)\end{cases}

可以看出，这时计算磁矢势需要转化为计算磁通量

定义一个微小的通电线圈（线圈形状可以是任意的），其磁矩为 \boldsymbol{m}=I\boldsymbol{a} ，其中 \boldsymbol{a} 为指向法向的线圈面积向量，当满足 r\gg r' 时，其磁场特征可等价为磁偶极矩为 \boldsymbol{p_m=\mu_0\boldsymbol{m}} 的磁偶极子，计算磁矢势

\boldsymbol{A(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{{\rm d}\boldsymbol{l}'}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\alpha}}

展开的第二项

\boldsymbol{A_{dip}(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\oint r'\cos\alpha{\rm d}\boldsymbol{l}'=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\oint(\boldsymbol{r}'\cdot\hat{r}){\rm d}\boldsymbol{l}'

称为磁偶极子项，当我们把原点选在线圈中心时有

\oint(\boldsymbol{r}'\cdot\hat{r}){\rm d}\boldsymbol{l}'=-\hat{r}\times\iint{\rm d}\boldsymbol{a}'=\boldsymbol{a}\times\hat{r}

即

\boldsymbol{A_{dip}(\boldsymbol{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{m}\times\hat{r}}{r^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{m\sin\theta}{r^2}\hat{e_\varphi}

故

\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(2\cos\theta\hat{e_r}+\sin\theta\hat{e_\theta})