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文章目录
1. 隐函数的导数2. 由参数方程所确定的函数的导数3. 相关变化率3.1. 相关变化率的定义3.2. 相关变化率问题
1. 隐函数的导数
隐函数与显函数
显函数 等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值 用这种方式表达的函数称为显函数隐函数 一般地，如果变量
x
,
y
x,y
x,y满足一个方程
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F(x,y)=0，在一定条件下，当
x
x
x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的
y
y
y值存在 那么就说方程
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数隐函数的显化 把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化 有时是很困难的，甚至是不可能的 隐函数求导方法
F
(
x
,
y
)
=
0
,
y
=
y
(
x
)
F(x,y)=0, y=y(x)
F(x,y)=0,y=y(x)
第1步 两边对自变量求导
d
F
(
x
,
y
(
x
)
)
d
x
=
0
\dfrac{d F(x,y(x))}{dx}=0
dxdF(x,y(x))=0第2步 解出
d
y
d
x
\dfrac{dy}{dx}
dxdy在某些场合（比如幂指函数、多因式），利用对数求导法通常更简便，具体操作是在第1步之前先对两边取对数，其他照旧针对幂指函数，还可以利用以下变换之间求导
u
v
=
e
v
ln
u
u^v=e^{v\ln u}
uv=evlnu
2. 由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数 一般地，若参数方程
{
x
=
φ
(
t
)
,
y
=
ψ
(
t
)
\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t)\end{cases}
{x=φ(t),y=ψ(t)确定
y
y
y与
x
x
x间的函数关系 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数的导数 如果函数
x
=
φ
(
t
)
x=\varphi(t)
x=φ(t)具有单调连续反函数
t
=
φ
−
1
(
x
)
t=\varphi^{-1}(x)
t=φ−1(x)，且此反函数能与函数
y
=
ψ
(
t
)
y=\psi(t)
y=ψ(t)构成复合函数 那么由参数方程所确定的函数可以看成
y
=
ψ
(
t
)
y=\psi(t)
y=ψ(t)、
t
=
φ
−
1
(
x
)
t=\varphi^{-1}(x)
t=φ−1(x)复合而成的函数
y
=
ψ
[
φ
−
1
(
x
)
]
y=\psi[\varphi^{-1}(x)]
y=ψ[φ−1(x)] 再假定函数
x
=
φ
(
t
)
x=\varphi(t)
x=φ(t)、
y
=
ψ
(
t
)
y=\psi(t)
y=ψ(t)都可导，而且
φ
′
(
t
)
≠
0
\varphi'(t)\ne 0
φ′(t)=0 于是得到了参数方程所确定的
x
x
x的函数的导数
d
y
d
x
=
d
y
d
t
⋅
d
t
d
x
=
d
y
d
t
⋅
1
d
x
d
t
=
ψ
′
(
t
)
φ
′
(
t
)
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}·\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dt}·\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}
dxdy=dtdy⋅dxdt=dtdy⋅dtdx1=φ′(t)ψ′(t)
3. 相关变化率
3.1. 相关变化率的定义
设
x
=
x
(
t
)
x=x(t)
x=x(t)及
y
=
y
(
t
)
y=y(t)
y=y(t)都是可导函数，而变量
x
x
x与
y
y
y之间存在某种关系，从而变化率
d
x
d
t
\dfrac{dx}{dt}
dtdx与
d
y
d
t
\dfrac{dy}{dt}
dtdy间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率
3.2. 相关变化率问题
相关变化率问题是研究两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率
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