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奈奎斯特定理与香农定理
早在 1924 年， A T&T 的工程师奈奎斯特（ Henry Nyquist ）就认识到在任何信道中，码元 传输的速率都是有上限的， 并推导出一个计算公式， 用来推算无噪声的、 有限带宽信道的最 大数据传输速率，这就是
今天的奈奎斯特定理。由于这个定理只局限在无噪声的环境下计 算信道最大数据传输速率，而在有噪声的环境下仍然不能有效计算出信道最大数据传输速 率，因此在
1948 年，香农（ Claude Shannon ）把奈奎斯特的工作进一步扩展到了信道受到 随机噪声干扰的情况， 即在有随机噪声干扰的情况计算信道最大数据传输速率， 这就是今天 的香农定
理。下面分别介绍这两个定理。
1 ．奈奎斯特定理
奈奎斯特证明， 对于一个带宽为 W 赫兹的理想信道， 其最大码元 （信号） 速率为 2W 波 特。这一限制是由于存在码间干扰。如果被传输的信号包含了 M 个状态值（信号的状态数 是 M ） ，那么 W 赫兹信道所能承载的最大数据传输速率（信道容量）是：
C =2× W× log2M （ bps ）
假设带宽为 W 赫兹信道中传输的信号是二进制信号 （即信道中只有两种物理信号） ， 那 么该信号所能承载的最大数据传输速率是 2Wbps 。 例如， 使用
带宽为 3KHz 的话音信道通过 调制解调器来传输数字数据，根据奈奎斯特定理，发送端每秒最多只能发送 2× 3000 个码元。 如果信号的状态数为 2 ，则每个信
号可以携带 1 个比特信息，那么话音信道的最大数据传输 速率是 6Kbps ；如果信号的状态数是 4 ，则每个信号可以携带 2 个比特信息，那么话音信道的 最大数据
传输速率是 12Kbps 。
因此对于给定的信道带宽， 可以通过增加不同信号单元的个数来提高数据传输速率。 然 而这样会增加接收端的负担， 因为， 接收端每接收一个码元， 它不再只是从两个可能的信号 取值中区分一个，而是必须从 M 个可能的信号中区分一个。传输介质上的噪声将会限制 M 的实际取值。
2 ．香农定理
奈奎斯特考虑了无噪声的理想信道，而且奈奎斯特定理指出，当所有其他条件相同时， 信道带宽加倍则数据传输速率也加倍。但是对于有噪声的信道，情况将会
迅速变坏。现在 让我们考虑一下数据传输速率、 噪声和误码率之间的关系。 噪声的存在会破坏数据的一个比 特或多个比特。假如数据传输速率增加了，每比特所占用
的时间会变短，因而噪声会影响 到更多比特，则误码率会越大。
对于有噪声信道， 我们希望通过提高信号强度来提高接收端正确接收数据的能力。 衡量 信道质量好坏的参数是信噪比（ Signal-to-Noise Ratio ， S/N ） ，信噪比是信号功率与在信道某 一个特定点处所呈现的噪声功率的比值。 通常信噪比在接收端进行测量， 因为我们正是在接 收端处理信号并试
图消除噪声的。如果用 S 表示信号功率，用 N 表示噪声功率，则信噪比 表示为 S/N 。 为了方便起见， 人们一般用 10log10 （ S/N ） 来表示信噪比， 单位是
分贝 （ dB ） 。 S/N 的值越高，表示信道的质量越好。例如， S/N 为 1000 ，其信噪比为 30dB ； S/N 为 100 ， 其信噪比为 20dB ； S/N 为 10 ，
其信噪比为 10dB 。
对于通过有噪声信道传输数字数据而言， 信噪比非常重要， 因为它设定了有噪声信道一 个可达的数据传输速率上限，即对于带宽为 W 赫兹，信噪比为 S/N 的信道，其最大数据传 输速率（信道容量）为：
C = W× log2(1+S/N) （ bps ）
例如，对于一个带宽为 3KHz ，信噪比为 30dB （ S/N 就是 1000 ）的话音信道，无论其使 用多少个电平信号发送二进制数据，其数据传输速率
不可能超过 30Kbps 。值得注意的是， 香农定理仅仅给出了一个理论极限， 实际应用中能够达到的速率要低得多。 其中一个原因是 |
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