线性代数｜矩阵的秩的性质

前置知识：

前置定义 2　设在矩阵 A \boldsymbol{A} A 中有一个不等于 0 0 0 的 r r r 阶子式 D D D，且所有 r + 1 r+1 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0 0 0，那么 D D D 称为矩阵 A \boldsymbol{A} A 的 最高阶非零子式，数 r r r 称为 矩阵 A \boldsymbol{A} A 的秩，记作 R ( A ) R(\boldsymbol{A}) R(A)。并规定零矩阵的秩等于 0 0 0。

说明见 “【定义】矩阵的秩”。

前置性质 3　行列式与它的转置行列式相等。

证明见 “行列式的性质”。

前置定理 4　若矩阵 A \boldsymbol{A} A 可逆，则 ∣ A ∣ ≠ 0 |\boldsymbol{A}| \ne 0 ∣A∣=0。

证明见 “逆矩阵的性质”。

前置定理 5　设 A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB，则 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 中非零子式的最高阶数相等。

证明见 “【定义】矩阵的秩”。

前置定理 6　设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 为 $m \times n $ 矩阵，那么 A ∼ B \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} A∼B 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 和 n n n 阶可逆矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q，使 P A Q = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} PAQ=B。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系“。

定理 1　逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。

证明　对于 n n n 阶矩阵 A \boldsymbol{A} A，由于 A \boldsymbol{A} A 的 n n n 阶子式只有一个 ∣ A ∣ |\boldsymbol{A}| ∣A∣，故当 ∣ A ∣ ≠ 0 |\boldsymbol{A}| \ne 0 ∣A∣=0 时 R ( A ) = n R(\boldsymbol{A}) = n R(A)=n，当 ∣ A ∣ = 0 |\boldsymbol{A}| = 0 ∣A∣=0 时 R ( A ) < n R(\boldsymbol{A}) < n R(A)R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)。

证明　因为 A \boldsymbol{A} A 的最高阶非零子式总是 ( A , B ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) (A,B) 的非零子式，所以 R ( A ) ≤ R ( A , B ) R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(A)≤R(A,B)。同理有 R ( B ) ≤ R ( A , B ) R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) R(B)≤R(A,B)。根据以上两式可得 max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) \max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) max{R(A),R(B)}≤R(A,B) 设 R ( A ) = r R(\boldsymbol{A}) = r R(A)=r， R ( B ) = t R(\boldsymbol{B}) = t R(B)=t；把 A T \boldsymbol{A}^T AT 和 B T \boldsymbol{B}^T BT 分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵 A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~ 和 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~。因为根据性质 2 有 R ( A T ) = R ( A ) = r R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A}) = r R(AT)=R(A)=r， R ( B T ) = R ( B ) = t R(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{B}) = t R(BT)=R(B)=t，所以 A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~ 和 B ~ \tilde{\boldsymbol{B}} B~ 中分别包含 r r r 和非零行和 t t t 的非零行，从而 ( A ~ B ~ ) \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix} (A~B~​) 中只含有 r + t r+t r+t 个非零行，并且 ( A T B T ) ∼ r ( A ~ B ~ ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix} (ATBT​)∼r(A~B~​)。于是有 R ( A , B ) = R ( A T B T ) T = R ( A T B T ) = R ( A ~ B ~ ) ≤ r + t = R ( A ) = R ( B ) R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix}^T = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix} \le r + t = R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A,B)=R(ATBT​)T=R(ATBT​)=R(A~B~​)≤r+t=R(A)=R(B) 得证。

特别地，当 B = b \boldsymbol{B} = \boldsymbol{b} B=b 为非零列向量时，有 R ( A ) ≤ R ( A , b ) ≤ R ( A ) + 1 R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1 R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1

性质 6　 R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) R(A+B)≤R(A)+R(B)。

证明　不妨设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 为 m × n m \times n m×n 矩阵。对矩阵 ( A + B B ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} (A+BB​) 做初等行变换 r i − r n + i r_i - r_{n+i} ri​−rn+i​（ i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n）即得 ( A + B B ) ∼ r ( A B ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} (A+BB​)∼r(AB​) 根据性质 5，有 R ( A + B ) ≤ R ( A + B B ) = R ( A B ) = R ( A T , B T ) T = R ( A T , B T ) ≤ R ( A T ) + R ( B T ) = R ( A ) + R ( B ) R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T)^T = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T) \le R(\boldsymbol{A}^T) + R(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) R(A+B)≤R(A+BB​)=R(AB​)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)≤R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B) 得证。

如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为 列满秩矩阵；当 A \boldsymbol{A} A 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵。如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 的秩等于它的行数，这样的矩阵称为 行满秩矩阵；当 A \boldsymbol{A} A 为方阵时，行满秩矩阵就成为满秩矩阵。