线性代数｜矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置知识：

前置定义 1（矩阵等价）　如果矩阵 A \boldsymbol{A} A 经有限次初等行变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B，就称矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 行等价，记作 A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB

证明见 “【定义】矩阵初等变换和矩阵等价”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 n n n 阶方阵 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 均可逆，则有 ( A B ) ( A B ) − 1 = ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = E (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) (\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}) = \boldsymbol{E} (AB)(AB)−1=(AB)(B−1A−1)=E，即 A B \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} AB 可逆。以此类推，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。得证。

定义　由单位矩阵 E \boldsymbol{E} E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）对换两行

把单位矩阵中第 i , j i,j i,j 两行对换（或将第 i , j i,j i,j 两列对换），得到初等矩阵 E ( i , j ) = ( 1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(i,j) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 & & \cdots & & 1 \\ & & & & 1 & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ & & & & & & 1 & \\ & & & 1 & & \cdots & & 0 \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix} E(i,j)= ​1​⋱​1​0⋮1​1​⋯⋱⋯​1​1⋮0​1​⋱​1​ ​ 可以验知：

（2）以数 k ≠ 0 k \ne 0 k=0 乘某一行中的所有元

以数 k ≠ 0 k \ne 0 k=0 乘单位矩阵的第 i i i 行（或第 i i i 列），得到初等矩阵 E ( i ( k ) ) = ( 1 ⋱ 1 k 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & k \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} E(i(k))= ​1​⋱​1​k​1​⋱​1​ ​ 可以验知：

（3）把某一行所有元的 k k k 倍加到另一行对应的元上去

以 k k k 乘单位矩阵的第 j j j 行加到第 i i i 行上或以 k k k 乘单位矩阵的第 i i i 列加到第 j j j 列上，得初等矩阵 E ( i j ( k ) ) = ( 1 ⋱ 1 ⋯ k ⋱ ⋮ 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(ij(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 & \cdots & k\\ & & & \ddots & \vdots\\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} E(ij(k))= ​1​⋱​1​⋯⋱​k⋮1​⋱​1​ ​ 可以验知：

根据以上讨论，得到性质如下：

性质 1　设 A \boldsymbol{A} A 是一个 m × n m \times n m×n 矩阵，对 A \boldsymbol{A} A 施行一次初等行变换，相当于在 A \boldsymbol{A} A 的左边乘相应的 m m m 阶初等矩阵；对 A \boldsymbol{A} A 施行一次初等列变换，相当于在 A \boldsymbol{A} A 的右边乘相应的 n n n 阶初等矩阵。

观察上述初等矩阵，显然有

性质 2　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。具体地：

根据以上性质，我们得到定理和证明如下：

定理　设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 为 $m \times n $ 矩阵，那么

证明　这里证明第 1 条，类似可证明第 2 条和第 3 条。

根据前置定义 1，可知： A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB；等价于矩阵 A \boldsymbol{A} A 经有限次初等行变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B。

根据性质 1，可知：矩阵 A \boldsymbol{A} A 经有限次初等行变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B；等价于矩阵 A \boldsymbol{A} A 左乘有限个 m m m 阶初等矩阵可以得到 B \boldsymbol{B} B；即存在有限个 m m m 阶初等矩阵 P 1 , P 2 , ⋯   , P l \boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_l P1​,P2​,⋯,Pl​，使得 P l ⋯ P 2 P 1 A = B \boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} Pl​⋯P2​P1​A=B。

因为初等矩阵都是可逆矩阵，根据前置定理 2，可知：存在有限个 m m m 阶初等矩阵 P 1 , P 2 , ⋯   , P l \boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_l P1​,P2​,⋯,Pl​，使得 P l ⋯ P 2 P 1 A = B \boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} Pl​⋯P2​P1​A=B；等价于存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P，使得 P A = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} PA=B。

综上所述，得到 A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P，使 P A = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} PA=B。得证。

上述定理表明，如果 A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB 则有可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P，使 P A = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} PA=B。下面讨论如何求得这个可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P。

由于 P A ⇔ { P A = B P E = P ⇔ P ( A , E ) = ( B , P ) ⇔ ( A , E ) ∼ r ( B , P ) \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \Leftrightarrow \begin{cases} \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{P} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \end{cases} \Leftrightarrow \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}) = (\boldsymbol{B}, \boldsymbol{P}) \Leftrightarrow (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) \stackrel{r}{\sim} (\boldsymbol{B},\boldsymbol{P}) PA⇔{PA=BPE=P​⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼r(B,P)。因此，如果对矩阵 ( A , E ) (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}) (A,E) 作初等行变换，那么当把 A \boldsymbol{A} A 变成 B \boldsymbol{B} B 时， E \boldsymbol{E} E 就变成了 P \boldsymbol{P} P。于是就得到所求的可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P。