带你秒懂向量与矩阵的范数(Norm)

我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化。 但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，进而引入范数的概念。 当我们有了范数的概念的后，我们就可以引出两个向量的距离的定义，这个向量可以是任意维数的。通过距离的定义，进而我们可以讨论逼近程度，从而讨论收敛性、求极限。 计算机领域用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断，一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小，常用的是二范数，差值越小表示越逼近实际值，可以认为达到要求的精度，收敛。 总的来说，范数存在的意义是为了实现比较距离。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，0）和（3，4），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的（1，0）和（3，4）通过范数分别映射到实数1 和 5 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，范数它其实是一个函数，它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。

在数学上，对于向量范数的定义，就是只要满足以下三条性质的函数，我们就可以称为它为范数。 （条件1的 ↔ \leftrightarrow ↔ 的意思就是当且仅当的意思） 所以，范数的是一个宽泛的概念，有很多种，但是我们一般只会用到常用的范数，接下来我们介绍常用的向量范数。

∥ x ∥ 0 = ∑ i = 1 k ∣ x i ∣ 0 \|x\|_0=\sum_{i=1}^k|x_i|^0 ∥x∥0​=i=1∑k​∣xi​∣0 意义：非0元素个数 评价：L0范数表示向量中非零元素的个数。L0范数的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0范数来寻找最少最优的稀疏特征项。但是，L0范数的最小化问题是NP难问题。而L1范数是L0范数的最优凸近似，它比L0范数要更容易求解。因此，优化过程将会被转换为更高维的范数（例如L1范数）问题。

∥ X ∥ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ \|X\|_1=\sum_{i=1}^n{|x_i|} ∥X∥1​=i=1∑n​∣xi​∣ 意义：各个元素的绝对值之和

∥ X ∥ 2 = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) 1 2 \|X\|_2=(\sum_{i=1}^{n}{x_i^2})^{\frac{1}{2}} ∥X∥2​=(i=1∑n​xi2​)21​ 意义：每个元素平方和再平方根 评价：L2范数是最常用的范数了，我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数。在回归里面，有人把加了L2范数项的回归c称为“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减(weight decay)”。它被广泛的应用在解决机器学习里面的过拟问题合。

为什么L2范数可以防止过拟合？回答这个问题之前，我们得先看看L2范数实际上是什么。 L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项最小，可以使得的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这是有很大的区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？因为当限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小,这样就相当于减少参数个数。

∥ X ∥ p = ( ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p W h e r e p ≥ 1 \|X\|_p=(\sum_{i=1}^n{|x_i|^p})^\frac{1}{p}\\ Where \quad p\ge1 ∥X∥p​=(i=1∑n​∣xi​∣p)p1​Wherep≥1 意义：每个元素p次方和再p次方根

∥ X ∥ ∞ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ \|X\|_\infty=\max_{1\le i\le n}|x_i| ∥X∥∞​=1≤i≤nmax​∣xi​∣ 意义：向量的p-范数的p取无限大即为向量的无穷范数

跟向量的范数定义类似，只不过矩阵的范数的性质比向量的范数性质多了一条相容性。 我们直接引出矩阵的范数定义：

∥ A ∥ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 m ∣ a i , j ∣ \|A\|_1=\max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}| ∥A∥1​=jmax​i=1∑m​∣ai,j​∣ 意义：矩阵的列向量的和的最大值

∥ A ∥ 2 = λ max ⁡ ( A T A ) = λ 1 W h e r e λ 1    i s    t h e    m a x i m u m    e i g e n v a l u e    o f A T A \|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}=\sqrt \lambda_1 \\ Where \quad \lambda_1 \; is\; the\; maximum\; eigenvalue\; of A^TA ∥A∥2​=λmax​(ATA) ​=λ ​1​Whereλ1​isthemaximumeigenvalueofATA 意义： A T A A^TA ATA矩阵的最大特征值的开平方

特征值相当于是两个维度的压缩，相当于是从矩阵的维度里面找到最大的， A T A A^TA ATA很重要我们线代老师提了一嘴，我给忘记了。

——梁子

∥ A ∥ ∞ = max ⁡ i ∑ j = 1 i ∣ a i , j ∣ \|A\|_{\infty}=\max_i\sum_{j=1}^i|a_{i,j}| ∥A∥∞​=imax​j=1∑i​∣ai,j​∣ 意义：矩阵的行向量的和的最大值

∥ A ∥ F = ( ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i , j ∣ 2 ) 1 2 \|A\|_F=(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2)^{\frac{1}{2}} ∥A∥F​=(i=1∑m​j=1∑n​∣ai,j​∣2)21​

也可以描述为：

∣ ∣ A ∣ ∣ F = T r ( A A T ) ||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)} ∣∣A∣∣F​=Tr(AAT) ​

矩阵的迹不懂看这里

意义：Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。感觉和向量的2范数类似

参考文献1 参考文献2