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QR分解－givens旋转与Householder变换

2024-06-19 06:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

目录 一、Householder QR分解Householder矩阵Householder变换Householder QR分解Householder物理意义 二、Givens 旋转QR分解功能表现计算方式QR分解 三、QR分解适用情况

一、Householder QR分解 Householder矩阵

在这里插入图片描述

Householder变换

在这里插入图片描述 同理 在这里插入图片描述 例子：将列向量其他元素置零 ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/d1f3b9bcf1e9448087bdca58d3d24427.png?x-oss-process=image/watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBA55-l5Lmf5peg5ravang=,size_10,color_FFFFFF,t_20,g_se,x_16

Householder QR分解

按列消元，一列一列操作 在这里插入图片描述在这里插入图片描述

详细消元顺序见：householder进行QR分解 matlab代码： 在这里插入图片描述

Householder物理意义

在这里插入图片描述 矩阵H叫做初等反射矩阵，或称为Householder矩阵。Hs=t的变换叫做Householder变换。 在这里插入图片描述

二、Givens 旋转QR分解 功能表现

在这里插入图片描述要把xi变为０，使用x_k把x_i变为0,givens矩阵计算需要使用xi,xk为xi同一列对角矩阵的元素，也可以选择同一列的其他元素

计算方式

注：Givens旋转每次变化的是第ｉ行和第ｊ行 在这里插入图片描述

QR分解

在这里插入图片描述 超定矩阵，QR分解实例 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 QR分解注意事项：

从左到右逐列执行。每一列，从下往上执行。每一次的Givens矩阵由要消为0 的元素和对应对角线的元素确定。

参考：消元顺序

三、QR分解适用情况

如下图所示矩阵，前面几列为0元素更多，可以使用givens消元，后面0元素更少，可以使用householder消元，householder计算矩阵更小 在这里插入图片描述 图一顺序不适合givens，消去第一列后整个矩阵都会fill,图二更适合，m*n,消元n次就可以得到上三角矩阵 在这里插入图片描述

参考文献：ppt QR分解



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