快速傅里叶变换

通过使用傅里叶变换，求出隐藏在噪声中的信号的频率分量，并求出峰值频率的振幅。

指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。

构造一个信号，其中包含振幅为 0.8 的 DC 偏移量、振幅为 0.7 的 50 Hz 正弦量和振幅为 1 的 120 Hz 正弦量。

用均值为零、方差为 4 的随机噪声扰乱该信号。

在时域中绘制含噪信号。频率分量在图中显示不明显。

计算信号的傅里叶变换。

由于傅里叶变换涉及复数，因此绘制 fft 频谱的复数模。

该图显示五个频率峰值，包括 DC 偏移量在 0 Hz 处的峰值。在此示例中，信号预计在 0 Hz、50 Hz 和 120 Hz 处有三个频率峰值。此处，绘图的后半部分是前半部分的镜像，不包括 0 Hz 处的峰值。原因是时域信号的离散傅里叶变换具有周期性，其频谱的前半部分为正频率，后半部分为负频率，第一个元素保留用于零频率。

对于实信号，fft 频谱是双边频谱，其中正频率的频谱是负频率的频谱的复共轭。要显示正负频率的 fft 频谱，可以使用 fftshift。对于偶数长度 L，频域从奈奎斯特频率的负值 -Fs/2 开始，直到 Fs/2-Fs/L，间距或频率分辨率为 Fs/L。

为了找到三个频率峰值的幅值，将 Y 中的 fft 频谱转换为单边振幅频谱。由于 fft 函数包括原始信号和变换信号之间的缩放因子 L，因此通过除以 L 来重新缩放 Y。取 fft 频谱的复数模。双边振幅频谱 P2（其中正频率的频谱是负频率的频谱的复共轭），其峰值振幅是时域信号中对应峰值振幅的一半。要转换为单边频谱，取双边频谱 P2 的前半部分。将正频率的频谱乘以 2。您不需要将 P1(1) 和 P1(end) 乘以 2，因为这些振幅分别对应于零频率和奈奎斯特频率，并且在负频率下没有复共轭对组。

定义单边频谱的频域 f。绘制单边振幅频谱 P1。与预期相符，振幅接近 0.8、0.7 和 1，但由于增加了噪声，它们并不精确等于这些值。大多数情况下，较长的信号会产生更好的频率逼近值。

现在，采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确振幅在 0.8、0.7 和 1.0 处。