最全面的homogeneous单应性坐标的定义，以及不同投影，仿射，相似，刚体变换矩阵的关系和自由度分析

What is homogeneous coordinate? Given a coordinate of a point X X X, if : λ x = X , λ ≠ 0. \lambda x =X, \quad \lambda \neq0. λx=X,λ​=0. Then, we call this point is in the homogeneous coordinate. 简明的说，就是在欧式坐标下，多加一个尺度因子，使用一个代表的点，就能够表明在这一条直线上的所有点。 E u c l i d e a n : x E = [ x , y ] T H o m o g e n e o u s : x H = [ x , y , 1 ] T Euclidean : \quad x_{E}=[x, y]^T \\ Homogeneous: \quad x_H = [x,y,1]^T Euclidean:xE​=[x,y]THomogeneous:xH​=[x,y,1]T

Why should we use homogeneous coordinates? A Euclidean coordinate can only represent one point, where as a homogeneous coordinate can represent one line. 比如，在欧式坐标 E . C . E.C. E.C.的一点 P E P_E PE​， P E = ( 1 , 2 ) P_E = (1,2) PE​=(1,2)，那么， P E P_E PE​在单应坐标 H . C . H.C. H.C.中，表示为 P E = ( 1 , 2 , 1 ) P_E = (1,2,1) PE​=(1,2,1)。由于homogeneous coordinate的性质，以下的等式成立： λ [ 1 2 1 ] = [ 1 2 1 ] (1) \lambda \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right] \tag{1}=\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 1 \end{matrix}\right] λ⎣⎡​121​⎦⎤​=⎣⎡​121​⎦⎤​(1)因此， [ 1 , 2 , 1 ] [1,2,1] [1,2,1]在homogeneous coord空间中，也表示 [ 3 , 6 , 3 ] [3,6,3] [3,6,3].欧式空间中的一点 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]可以在 H . C . H.C. H.C.空间中表示无数个点，即，一条线。