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在线性代数和矩阵的使用中,矩阵行列式的概念\(A\)是一个最重要的概念。 这是因为它的使用与您想要对矩阵进行的几乎所有重要操作相关联,例如验证矩阵的可逆性, 求矩阵的逆 或者 求解系统 . 因此,无论您在使用矩阵时环顾四周,都会以一种或另一种方式找到行列式。因此,熟悉它们非常重要。 这个矩阵计算器如何帮助你 您需要做的就是输入您的矩阵 它需要是方阵,也就是行数和列数相同的矩阵 只需单击按钮,计算器就会显示所有步骤和行列式的最终值 进行行列式计算可能非常费力且容易出错。这个计算器让你摆脱这些问题 如何计算矩阵的行列式?这可能是一个很长的答案,因为有很多方法可以计算矩阵的行列式。让我们首先说行列式仅计算方阵(这是具有相同行数和列数的矩阵)。 因此,我们可以计算行列式的最小矩阵是 2x2 矩阵。让我们考虑一个通用的 2x2 矩阵,如下所示: \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]行列式的公式是什么?在这种情况下,矩阵 \(A\) 的行列式简单地计算为 \(\det(A) = a d - bc\) 例如,如果我们有: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\]矩阵 \(A\) 的行列式将是 \(\det(A) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1\)。容易,对吧? 如何找到 3x3 矩阵的行列式?现在,对于较大的矩阵,我们基于较小矩阵的子行列式来构建行列式的计算。只是为了让您了解一下,让我们看看一种计算 3x3 矩阵行列式的方法。考虑 \[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]在这种情况下,矩阵 3x3 矩阵 \(A\) 的行列式是基于几个 2x2 行列式的运算来计算的 \[\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} - b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}\]在上述等式中,值 \(a\),\(b\),\(c\) 起着枢轴的作用,可能会得到负号。枢轴的符号是 \((-1)^{i+j}\),其中对应的枢轴位于行 \(i\) 和列 \(j\)。 例如 \(a\) 在第 1 行第 1 列,所以它的符号是 \((-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1\)(正)。此外,\(b\) 位于第 1 行第 2 列,因此其符号为 \((-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1\)(负数),依此类推。 魔术是选择任何行或列作为枢轴。每个枢轴将有一个相关的符号(正或负)和一个子行列式,它们与 基质辅因子 . 该子行列式是删除行 \(i\) 和列 \(j\) 后原始矩阵的实际行列式,用于在行 \(i\) 和列 \(j\) 中的枢轴。 最合乎逻辑的约定表示为枢轴选择具有最多零的行或列,以便尽可能避免计算一些子行列式。 如何找到 3x4 矩阵的行列式?你做不到。 3x4 矩阵不是方阵,因此无法计算行列式。为了计算行列式,矩阵需要具有相同的行数和列数。 一个 4x4 行列式计算器对于较大的矩阵,方法是相同的:为枢轴选择一行或一列,理想情况下是零最多的。找到每个枢轴对应的符号,并找到对应的子行列式。 因此,您将 4x4 矩阵的行列式的计算简化为四个 3x3 行列式的运算。反过来,每个 3x3 行列式中的每一个都被发现是几个 2x2 行列式的运算,我们知道一个公式。 所以,它很快就会变得一团糟。 矩阵行列式的计算示例问题: 考虑以下矩阵: \[ \begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}\]计算给定矩阵的行列式,显示步骤。 解决方案: 我们需要计算已提供的 \(3 \times 3\) 矩阵的行列式。 使用子行列式公式,我们得到: \[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) - 3 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -4 \right) - 2 \cdot \left( 16 \right) + 3 \cdot \left( 7 \right) = -15\]结论 :根据上面的计算,发现矩阵的行列式是\(\det A = \displaystyle -15\)。 您可以使用的其他有用的矩阵计算器手工完成的矩阵计算是劳动密集型的,因此您可以利用我们的线性代数求解器。 首先,您可以使用此逆矩阵计算器来计算显示步骤的矩阵的逆矩阵,您可以通过 伴随法 ,或通过使用 RREF 减少 . |
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