【线性代数（3）】行列式的七大性质及推论

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行列式转置：就是把行列进行调换，行变成列，列变成行

D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣         ⇒          D T = ∣ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ∣ D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } D^{T}=\begin{vmatrix}1 & 4& 7 \\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣​147​258​369​∣∣∣∣∣∣​       ⇒        DT=∣∣∣∣∣∣​123​456​789​∣∣∣∣∣∣​

两次转置之后就回去了，因此行列式的第一个性质就有了

看一下行列式及其转置展开后数值的关系，比如原行列式按行展开，取其列标为132，则对应的展开项就为 ( − 1 ) N ( 132 ) 1 ∗ 6 ∗ 8 (-1)^{N(132)}1*6*8 (−1)N(132)1∗6∗8，而该行列式的转置采用按列展开，要想也取相同的元素，则应取其行标为132，则对应的展开项就为 ( − 1 ) N ( 132 ) 1 ∗ 6 ∗ 8 (-1)^{N(132)}1*6*8 (−1)N(132)1∗6∗8，由此可知，原行列式的展开项和转置后的展开项是一致的，故行列式的值是相等的，也就有了性质（1）

性质1虽然简单，但是有种万丈高楼平地起的感觉（很基础但又有决定性意义），翻译过来就是：行列式中对行成立的性质，对列也同样成立，因此在证明的时候，就只需要证明性质对行成立即可，默认就是对列成立

比如将下面的行列式的第一行和第三行进行调换 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣         ⇒          D 1 = ∣ 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣ = − D D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9& 10 & 11 &12\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }D_{1}= \begin{vmatrix}9& 10 & 11 &12\\ 5 & 6 & 7 & 8\\1 & 2 & 3 & 4 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =-D D=∣∣∣∣∣∣∣∣​15913​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣​       ⇒        D1​=∣∣∣∣∣∣∣∣​95113​106214​117315​128416​∣∣∣∣∣∣∣∣​=−D

证明：将D进行展开（第一种定义），假如取的元素是2,7,12,13，其对应的行标为1,2,3,4，列标为2,3,4,1，所以对应的展开项就为： ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 (-1)^{N(2341)}2*7*12*13 (−1)N(2341)2∗7∗12∗13，要使 D 1 D_{1} D1​取相同的元素，其对应的行标为3,2,1,4，列标为2,3,4,1，因此 D 1 D_{1} D1​的展开是属于第三种定义，对应的展开项就为： ( − 1 ) N ( 3214 ) + N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 = ( − 1 ) N ( 3214 ) ( − 1 ) N ( 2341 ) 2 ∗ 7 ∗ 12 ∗ 13 (-1)^{N(3214)+N(2341)}2*7*12*13=(-1)^{N(3214)}(-1)^{N(2341)}2*7*12*13 (−1)N(3214)+N(2341)2∗7∗12∗13=(−1)N(3214)(−1)N(2341)2∗7∗12∗13

其中 ( − 1 ) N ( 3214 ) (-1)^{N(3214)} (−1)N(3214)可以和 ( − 1 ) N ( 1234 ) (-1)^{N(1234)} (−1)N(1234)进行对比，可以发现1和3进行了一次对换，因此前一项的结果就是-1，而后面的结果就是相同的，故经过行互换的行列式的每一项都是原来展开项的相反数，最终的结果也就是互换后行列式的值变号

为啥会多一个负号？根据展开项的标号来看，列标是没有发生变化的（比如都是2341），经过变换后行标发生改变，变化的过程为：原来的1234变化为3214，就是进行了一次对换，所以会多出来一个负号

参考一下如下行列式的变换过程 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣         ⇒        − D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 13 14 15 16 ∣ = D D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 1& 2& 3 &4\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } -D= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\1 & 2 & 3 & 4 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =D D=∣∣∣∣∣∣∣∣​15113​26214​37315​48416​∣∣∣∣∣∣∣∣​       ⇒      −D=∣∣∣∣∣∣∣∣​15113​26214​37315​48416​∣∣∣∣∣∣∣∣​=D

根据上面的性质（2），将第一行和第三行进行互换，行列式的值变号，所以最后就有了行列式的值为0 − D = D                ⇒                D = 0 -D = D \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } D = 0 −D=D              ⇒              D=0

D = ∣ 1 2 3 4 5 k 6 k 7 k 8 k 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣    =    k ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣ = k ∗ D D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\ 9& 10& 11 &12\\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} \text{ } \text{ } = \text{ } \text{ } k\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\9& 10& 11 &12 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =k*D D=∣∣∣∣∣∣∣∣​15k913​26k1014​37k1115​48k1216​∣∣∣∣∣∣∣∣​  =  k∣∣∣∣∣∣∣∣​15913​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣​=k∗D

主要用的是该性质的推论：某一行有公因子k，k可以提到外边去；n阶行列式所有元素都有公因式k，公因式外提n次，如下，有4行就可以提4个k，故是k的四次方 D = ∣ 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 11 k 12 k 13 k 14 k 15 k 16 k ∣    =    k 4 ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∣ = k 4 ∗ D D = \begin{vmatrix}1k & 2k & 3k & 4k\\ 5k & 6k & 7k & 8k\\ 9k& 10k& 11k &12k\\ 13k & 14k & 15k &16k\end{vmatrix} \text{ } \text{ } = \text{ } \text{ } k^{4}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8\\9& 10& 11 &12 \\ 13 & 14 & 15 &16\end{vmatrix} =k^{4}*D D=∣∣∣∣∣∣∣∣​1k5k9k13k​2k6k10k14k​3k7k11k15k​4k8k12k16k​∣∣∣∣∣∣∣∣​  =  k4∣∣∣∣∣∣∣∣​15913​261014​371115​481216​∣∣∣∣∣∣∣∣​=k4∗D

行列式变换过程如下：借用性质（3）：两行（列）成比例，行列式的值为0 D = ∣ 1 2 3 1 1 1 8 8 8 ∣         ⇒          8 ∣ 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ∣ = 0 D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } 8 \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 D=∣∣∣∣∣∣​118​218​318​∣∣∣∣∣∣​       ⇒        8∣∣∣∣∣∣​111​211​311​∣∣∣∣∣∣​=0

推论：某一行全为0， 该行列式的值为0 ⇒ D = 0 \Rightarrow \mathbf{D = 0} ⇒D=0 D = ∣ 1 2 3 0 0 0 8 8 8 ∣      ⇒     ∣ 1 2 3 0 ∗ 8 0 ∗ 8 0 ∗ 8 8 8 8 ∣    ⇒      0 ∣ 1 2 3 8 8 8 8 8 8 ∣ = 0 D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\0& 0 & 0\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 0*8 & 0*8 & 0*8\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } 0 \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 8 & 8 & 8\\ 8 & 8 & 8 \end{vmatrix} = 0 D=∣∣∣∣∣∣​108​208​308​∣∣∣∣∣∣​    ⇒   ∣∣∣∣∣∣​10∗88​20∗88​30∗88​∣∣∣∣∣∣​  ⇒    0∣∣∣∣∣∣​188​288​388​∣∣∣∣∣∣​=0

上面的过程是用性质（5）证明的推论，当然也可以使用行列式的定义来证明，因为每一个展开项都需要取到行为0的元素，也就是说每个展开项都会和0相乘，故最后的值为0

小结一下关于行列式为0的性质和推论，以下有三种 易错点： 当行列式的值为0时，左侧的三个至少有一个成立（这种说法是错误的，只能正向推）

举个反例 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ = 0 D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4& 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0 D=∣∣∣∣∣∣​147​258​369​∣∣∣∣∣∣​=0

梳理过程如下： D = ∣ 1 2 3 4 + 1 5 + 2 6 + 3 7 8 9 ∣      ⇒     ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ + ∣ 1 2 3 1 2 3 7 8 9 ∣    = 0 + 0 = 0 D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 + 1& 5+2 & 6+3\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \Rightarrow \text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 &2& 3 \\ 1 & 2 & 3\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \text{ } \text{ } = 0 + 0 = 0 D=∣∣∣∣∣∣​14+17​25+28​36+39​∣∣∣∣∣∣​    ⇒   ∣∣∣∣∣∣​147​258​369​∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣​117​228​339​∣∣∣∣∣∣​  =0+0=0

注意这种加法可拆性是针对有和的那一行，其余的是不变的，比如

易错点： 直接将多行按照一行来拆分， ∣ a + b b + c a + c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣      ! =     ∣ a b c a b c b c a ∣ + ∣ b c c c a b c a b ∣ \begin{vmatrix}a+b & b+c & a+c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }!=\text{ } \text{ } \text{ } \begin{vmatrix}a& b & c \\ a &b& c \\ b & c & a\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b & c & c \\ c &a& b \\ c & a & b \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣​a+ba+cb+c​b+ca+ba+c​a+cb+ca+b​∣∣∣∣∣∣​    !=   ∣∣∣∣∣∣​aab​bbc​cca​∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣​bcc​caa​cbb​∣∣∣∣∣∣​

正确结果应该是拆分为 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8项 ∣ a + b b + c a + c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ = ∣ a b c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ + ∣ b c c a + c a + b b + c b + c a + c a + b ∣ = . . . . . . \begin{vmatrix}a+b & b+c & a+c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a& b & c \\a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}b & c & c \\ a+c &a+b& b+c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix} = ...... ∣∣∣∣∣∣​a+ba+cb+c​b+ca+ba+c​a+cb+ca+b​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​aa+cb+c​ba+ba+c​cb+ca+b​∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣​ba+cb+c​ca+ba+c​cb+ca+b​∣∣∣∣∣∣​=......

证明过程梳理如下：比如第一行乘以5加到第二行，然后使用性质（5）和性质（6），即可得证 D = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 + 5 1 + 10 0 + 15 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ + ∣ 1 2 3 5 10 15 9 9 10 ∣ = ∣ 1 2 3 1 1 0 9 9 10 ∣ D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1+5& 1+10 & 0+15\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\5& 10 & 15\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1& 1 & 0\\ 9& 9 & 10 \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣​119​219​3010​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​11+59​21+109​30+1510​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​119​219​3010​∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣​159​2109​31510​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​119​219​3010​∣∣∣∣∣∣​

核心思想：将行列式转化为上三角行列式，最后的值就为主对角线各元素之积 操作步骤：①先处理第一列，再处理第二列，再第三列… ②第一列处理完，接下来第一列不再参与运算；第二列处理完，接下来第二列不再参与运算…

比如：先将第一列非第一行所有元素化为0，然后相同的方法操作第二列，紧接着第三/四列 D = ∣ 1 2 0 1 2 3 10 0 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 5 10 15 4 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 3 5 18 0 0 15 − 1 ∣ = ∣ 1 2 0 1 0 − 1 10 − 2 0 0 35 12 0 0 0 − 43 7 ∣ = 215 D = \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 10 & 0\\ 0& 3& 5 &18\\ 5 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 3& 5 &18\\ 5 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 3& 5 &18\\ 0 & 0 & 15 &-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 10& -2\\0& 0& 35 &12\\ 0 & 0 & 0 & -\frac{43}{7}\end{vmatrix} = 215 D=∣∣∣∣∣∣∣∣​1205​23310​010515​10184​∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣​1005​2−1310​010515​1−2184​∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​2−130​010515​1−218−1​∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​2−100​010350​1−212−743​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=215

注意：如果第一行的第一个元素不是1，要找到行数为1的进行调换位置，或者找到方便转化为1的行数进行调换，然后继续执行上诉的步骤，如下：

① 找到元素为1的行 ∣ 8 2 0 1 1 3 10 0 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ ∣ 1 3 10 0 8 2 0 1 0 3 5 18 3 10 15 4 ∣ \begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 10 & 0\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 3 & 10 & 0\\ 8 & 2 & 0 & 1\\0& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣​8193​23310​010515​10184​∣∣∣∣∣∣∣∣​⇒∣∣∣∣∣∣∣∣​1803​32310​100515​01184​∣∣∣∣∣∣∣∣​ ② 找到方便转化为1的行再调换

∣ 8 2 0 1 3 3 6 9 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ 3 ∣ 8 2 0 1 1 1 2 3 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ ⇒ 3 ∣ 1 1 2 3 8 2 0 1 9 3 5 18 3 10 15 4 ∣ \begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 6 & 9\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow 3\begin{vmatrix}8 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 3\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} \Rightarrow 3\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 & 3\\ 8 & 2 & 0 & 1\\9& 3& 5 &18\\ 3 & 10 & 15 &4\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣​8393​23310​06515​19184​∣∣∣∣∣∣∣∣​⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣​8193​21310​02515​13184​∣∣∣∣∣∣∣∣​⇒3∣∣∣∣∣∣∣∣​1893​12310​20515​31184​∣∣∣∣∣∣∣∣​

至此行列式的7大性质及其推论，全部梳理完毕，下一部分梳理行列式计算的实例