线性代数学习笔记（十三）

本篇笔记首先回顾了伴随矩阵，随后给出了逆矩阵的定义，并通过定理给出了采用伴随矩阵法求逆矩阵的公式以及推论，由于伴随矩阵法求逆矩阵计算量过于复杂，一般不常用，更常用的方法是后续介绍的初等变换法；使用推论证明某矩阵的逆等于另一矩阵的关键在于：验证某矩阵乘以另一矩阵等于单位阵。然后介绍矩阵方程，需要注意求矩阵方程的几大易错点，最后还介绍了逆矩阵的性质，并对伴随矩阵做了总结。

对于方阵，有以下万能公式： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E。 思考： (1) 任何方阵都有伴随矩阵吗？ 答案是肯定的，因为按照求伴随矩阵的步骤一定能求出来。

(2) 如果只有一个元素的矩阵，如何求它的伴随矩阵？ 例如 A = [ 5 ] A=[5] A=[5]，因为根据求伴随矩阵的步骤，无法求元素的代数余子式。 所以只能根据上面的公式计算： A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E，即： [ 5 ] A ∗ = 5 E [5]A^*=5E [5]A∗=5E 所以： A ∗ = E = [ 1 ] A^*=E=[1] A∗=E=[1]

设 A A A是一个 n n n阶方阵，如果存在同阶方阵 B B B，使得 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E，那么 B B B就叫 A A A的逆矩阵，记作： A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B。

A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B表示 A A A的逆矩阵是 B B B，与数字运算（如 a − 1 = 1 a a^{-1}=\frac{1}{a} a−1=a1​）不同， A − 1 = 1 A A^{-1}=\xcancel{\frac{1}{A}} A−1=A1​ ​是错误的。

逆矩阵满足以下三个基本事实： ① 未必所有方阵均可逆。 如： O O O矩阵， O B = B O = O OB=BO=O OB=BO=O，永远不可能等于 E E E。

② 如果一个方阵可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。 证明：假设方阵 A A A的逆矩阵为 B 1 B_1 B1​和 B 2 B_2 B2​。

根据逆矩阵的定义： A B 1 = B 1 A = E AB_1=B_1A=E AB1​=B1​A=E， A B 2 = B 2 A = E AB_2=B_2A=E AB2​=B2​A=E 所以： B 1 = B 1 E = B 1 ( A B 2 ) = ( B 1 A ) B 2 = E B 2 = B 2 B_1=B_1E=B_1(AB_2)=(B_1A)B_2=EB_2=B_2 B1​=B1​E=B1​(AB2​)=(B1​A)B2​=EB2​=B2​ 即： B 1 = B 2 B_1=B_2 B1​=B2​ 所以逆矩阵是唯一的。

③ 如果方阵 A A A可逆，那么 A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E AA−1=A−1A=E。

一个方阵究竟满足什么条件才可逆？ (1) 如何判断可逆？ (2) 逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1是什么？

定义：若方阵 A A A的行列式 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，该方阵叫做非奇异（非退化、满秩）矩阵；反之，若方阵 A A A的行列式 ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0，该方阵叫做奇异（退化、降秩）矩阵。

定理2.4.2：矩阵 A A A可逆的充要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，并且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \color{red}{A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*} A−1=∣A∣1​A∗。

证明： 充分性：假设 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，因为方阵有： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E（所有方阵都成立），所以等式中都除以 ∣ A ∣ |A| ∣A∣得： A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E A(\frac{1}{|A|}A^*)=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E A(∣A∣1​A∗)=(∣A∣1​A∗)A=E（只有当 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0才成立），根据逆矩阵的定义可知： 1 ∣ A ∣ A ∗ \frac{1}{|A|}A^* ∣A∣1​A∗就是 A A A的逆矩阵，所以： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗。

必要性：如果 A A A可逆，那么 A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E，两边同时取行列式得： ∣ A A − 1 ∣ = ∣ E ∣ |AA^{-1}|=|E| ∣AA−1∣=∣E∣，即： ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = 1 |A||A^{-1}|=1 ∣A∣∣A−1∣=1，所以 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0。

该定理解决了上面的两个问题： (1) 如何判断可逆？ ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0； (2) 逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1是什么？ A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗。

推论：假设矩阵 A A A和矩阵 B B B均为 n n n阶方阵，如果 A B = E AB=E AB=E或 B A = E BA=E BA=E，则可知 A A A可逆，并且 A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B。

证明： 因为 A B = E AB=E AB=E，两边同时取行列式得： ∣ A B ∣ = ∣ E ∣ |AB|=|E| ∣AB∣=∣E∣，即： ∣ A ∣ ∣ B ∣ = 1 |A||B|=1 ∣A∣∣B∣=1，所以 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，故 A A A可逆。 在 A B = E AB=E AB=E两边同时左乘 A − 1 A^{-1} A−1得： A − 1 A B = A − 1 E A^{-1}AB=A^{-1}E A−1AB=A−1E，所以： B = A − 1 B=A^{-1} B=A−1，也就是说： A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B。

该推论与定义相比其先进性在于： A B = E AB=E AB=E或 B A = E BA=E BA=E只需要验证一个即可，故一般做题时较为常用。

求逆矩阵的方法有两种：一种是上面的 “伴随矩阵法”，另一个是 “初等变换法” ，将在后面进行介绍。

一般求逆矩阵时使用初等变换法，不使用伴随矩阵法，因为伴随矩阵法求逆矩阵的计算量比较大。

例3： 已知矩阵 A = [ 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ] A=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&1&4\end{bmatrix} A=⎣⎡​121​111​134​⎦⎤​，求 A − 1 A^{-1} A−1。

解：行列式 ∣ A ∣ = ∣ 1 1 1 2 1 3 1 1 4 ∣ |A|=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&1&3\\1&1&4\end{vmatrix} ∣A∣=∣∣∣∣∣∣​121​111​134​∣∣∣∣∣∣​

将 第 1 行 × ( − 2 ) 加 到 第 2 行 ‾ ‾ ∣ 1 1 1 0 − 1 1 1 1 4 ∣ \underline{\underline{将第1行{\times}(-2)加到第2行}}\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\1&1&4\end{vmatrix} 将第1行×(−2)加到第2行​​∣∣∣∣∣∣​101​1−11​114​∣∣∣∣∣∣​

将 第 1 行 × ( − 1 ) 加 到 第 3 行 ‾ ‾ ∣ 1 1 1 0 − 1 1 0 0 3 ∣ \underline{\underline{将第1行{\times}(-1)加到第3行}}\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&3\end{vmatrix} 将第1行×(−1)加到第3行​​∣∣∣∣∣∣​100​1−10​113​∣∣∣∣∣∣​ = − 3 =-3 =−3

故 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\ne0 ∣A∣​=0，所以 A A A可逆。

根据上一篇博客线性代数学习笔记（十二）——逆矩阵（一）例2，求出矩阵 A A A每个元素代数余子式的方法，得到伴随矩阵： A ∗ = [ 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ] A^*=\begin{bmatrix}1&-3&2\\-5&3&-1\\1&0&-1\end{bmatrix} A∗=⎣⎡​1−51​−330​2−1−1​⎦⎤​

然后通过求逆矩阵公式： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗，得：

A − 1 = − 1 3 [ 1 − 3 2 − 5 3 − 1 1 0 − 1 ] A^{-1}=-\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1&-3&2\\-5&3&-1\\1&0&-1\end{bmatrix} A−1=−31​⎣⎡​1−51​−330​2−1−1​⎦⎤​

= [ − 1 3 1 − 2 3 5 3 − 1 1 3 − 1 3 0 1 3 ] =\begin{bmatrix}-\frac{1}{3}&1&-\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&-1&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}\end{bmatrix} =⎣⎡​−31​35​−31​​1−10​−32​31​31​​⎦⎤​

例5：已知 A A A、 B B B为 n n n阶方阵，并满足 A + B = A B A+B=AB A+B=AB。 (1) 试验证 A − E A-E A−E可逆； (2) 若 B = ? B=? B=?，求 A A A。

(1) 证明： 因为： A + B = A B A+B=AB A+B=AB， 所以： A B − A − B = O AB-A-B=O AB−A−B=O，（ O O O为 n n n阶零矩阵），等式两边同加 n n n阶单位矩阵 E E E得： A B − A − B + E = E AB-A-B+E=E AB−A−B+E=E， 即： A ( B − E ) − B + E = E A(B-E)-B+E=E A(B−E)−B+E=E，（ B = B E B=BE B=BE） 故： A ( B − E ) − E ( B − E ) = E A(B-E)-E(B-E)=E A(B−E)−E(B−E)=E， 即： ( A − E ) ( B − E ) = E (A-E)(B-E)=E (A−E)(B−E)=E， 所以 A − E A-E A−E可逆， ( A − E ) − 1 = ( B − E ) (A-E)^{-1}=(B-E) (A−E)−1=(B−E)，原式获证。

(2) 解：略

举例：已知 A = [ 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ] A=\begin{bmatrix}4&2&3\\1&1&0\\-1&2&3\end{bmatrix} A=⎣⎡​41−1​212​303​⎦⎤​，求 A X = A + 2 X AX=A+2X AX=A+2X。

解：将含有 X X X的项移到等式左边得： A X − 2 X = A AX-2X=A AX−2X=A，提取公因子 X X X得： ( A − 2 E ) X = A (A-2E)X=A (A−2E)X=A，（错误写法： ( A − 2 ) X = A (A-2)X=A (A−2)X=A、 X ( A − 2 ) = A X(A-2)=A X(A−2)=A或 X ( A − 2 E ) = A X(A-2E)=A X(A−2E)=A），

因为： A − 2 E = [ 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ] − 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A-2E=\begin{bmatrix}4&2&3\\1&1&0\\-1&2&3\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} A−2E=⎣⎡​41−1​212​303​⎦⎤​−2⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​

= [ 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ] − [ 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ] =\begin{bmatrix}4&2&3\\1&1&0\\-1&2&3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix} =⎣⎡​41−1​212​303​⎦⎤​−⎣⎡​200​020​002​⎦⎤​

= [ 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ] =\begin{bmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{bmatrix} =⎣⎡​21−1​2−12​301​⎦⎤​

故： ∣ A − 2 E ∣ = ∣ 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ∣ = 5 |A-2E|=\begin{vmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{vmatrix}=5 ∣A−2E∣=∣∣∣∣∣∣​21−1​2−12​301​∣∣∣∣∣∣​=5

所以： ∣ A − 2 E ∣ ≠ 0 |A-2E|{\neq}0 ∣A−2E∣​=0， 即： A − 2 E A-2E A−2E可逆，

等式两边同时左乘 ( A − 2 E ) − 1 (A-2E)^{-1} (A−2E)−1得： ( A − 2 E ) − 1 ( A − 2 E ) X = ( A − 2 E ) − 1 A (A-2E)^{-1}(A-2E)X=(A-2E)^{-1}A (A−2E)−1(A−2E)X=(A−2E)−1A

所以： X = ( A − 2 E ) − 1 A X=(A-2E)^{-1}A X=(A−2E)−1A（错误写法： X = A A − 2 E X=\bcancel{\frac{A}{A-2E}} X=A−2EA​ ​、 X = A ( A − 2 E ) − 1 X=A(A-2E)^{-1} X=A(A−2E)−1）

不建议做法： 设 X = [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 ] X=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\\x_4&x_5&x_6\\x_7&x_8&x_9\end{bmatrix} X=⎣⎡​x1​x4​x7​​x2​x5​x8​​x3​x6​x9​​⎦⎤​

所以根据 ( A − 2 E ) X = A (A-2E)X=A (A−2E)X=A得： [ 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 ] = [ 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ] \begin{bmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\\x_4&x_5&x_6\\x_7&x_8&x_9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2&3\\1&1&0\\-1&2&3\end{bmatrix} ⎣⎡​21−1​2−12​301​⎦⎤​⎣⎡​x1​x4​x7​​x2​x5​x8​​x3​x6​x9​​⎦⎤​=⎣⎡​41−1​212​303​⎦⎤​

根据矩阵乘法规则联立方程组求出所有未知数。太复杂！

当前建议做法： ( A − 2 E ) − 1 = 1 ∣ A − 2 E ∣ ( A − 2 E ) ∗ (A-2E)^{-1}=\frac{1}{|A-2E|}(A-2E)^* (A−2E)−1=∣A−2E∣1​(A−2E)∗

后续建议使用初等变换法求逆矩阵。

总结： ① 提取公因子需要注意方向； ② 矩阵不能加减一个数，需要补上单位矩阵； ③ 永远不要将矩阵放在分母上； ④ 先判断行列式不等于零，矩阵才可逆，才能写逆矩阵； ⑤ 求逆矩阵时，待定法（假设法）过于复杂，不建议使用； ⑥ 使用伴随矩阵法求逆矩阵比较复杂，建议后续使用初等变换法。

接上一篇博客线性代数学习笔记（十二）——逆矩阵（一）方阵行列式的性质。

④ 若 A A A可逆，则 A − 1 A^{-1} A−1也可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A \color{red}{(A^{-1})^{-1}=A} (A−1)−1=A 证明： (1) 因为 A A A可逆，所以 A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E AA−1=A−1A=E，所以根据定义可知： A − 1 A^{-1} A−1的逆矩阵就等于 A A A，即 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A。 (2) 根据推论可知，因为 A − 1 A = E A^{-1}A=E A−1A=E，所以 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A。

该性质在形式上类似于行列式的以下性质： ( A T ) T (A^T)^T (AT)T

⑤ 若 A A A、 B B B均可逆，则 A B AB AB也可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 \color{red}{(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} (AB)−1=B−1A−1 证明： 因为： A B ⋅ B − 1 ‾ A − 1 = A A − 1 = E A\underline{B{\cdot}B^{-1}}A^{-1}=AA^{-1}=E AB⋅B−1​A−1=AA−1=E，所以 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。

该性质在形式上类似于行列式的以下性质： ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

推论： ( A B C D ) − 1 = D − 1 C − 1 B − 1 A − 1 (ABCD)^{-1}=D^{-1}C^{-1}B^{-1}A^{-1} (ABCD)−1=D−1C−1B−1A−1

⑥ 若 A A A可逆，那么 A T A^T AT也可逆，并且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T \color{red}{(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T} (AT)−1=(A−1)T；若 k ≠ 0 k{\neq}0 k​=0，那么 ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 \color{red}{(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}} (kA)−1=k1​A−1 证明： (1) 因为 A T ⋅ ( A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T = E A^T{\cdot}(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E^T=E AT⋅(A−1)T=(A−1A)T=ET=E，所以 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T； (2) 因为 k A ⋅ 1 k A − 1 = E \bcancel{k}A{\cdot}\bcancel{\frac{1}{k}}A^{-1}=E k ​A⋅k1​ ​A−1=E，所以 ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} (kA)−1=k1​A−1。

⑦ 若 A A A可逆，那么 ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 \color{red}{|A^{-1}|=|A|^{-1}} ∣A−1∣=∣A∣−1 证明： 因为 A A A可逆，所以 A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E且 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，等式两边取行列式得： ∣ A A − 1 ∣ = ∣ E ∣ |AA^{-1}|=|E| ∣AA−1∣=∣E∣，所以 ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = 1 |A||A^{-1}|=1 ∣A∣∣A−1∣=1，即 ∣ A − 1 ∣ = 1 ∣ A ∣ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} ∣A−1∣=∣A∣1​，也就是 ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}|=|A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣−1。

⑧ 若 A A A可逆，则 A ∗ A^* A∗也可逆，并且 ( A ∗ ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A \color{red}{(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A} (A∗)−1=∣A∣1​A 证明： 因为 A A A可逆，所以 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq}0 ∣A∣​=0，又因为 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E，等式两边同时除以 ∣ A ∣ |A| ∣A∣得： ( 1 ∣ A ∣ A ) A ∗ = E (\frac{1}{|A|}A)A^*=E (∣A∣1​A)A∗=E，所以 ( A ∗ ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A (A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A (A∗)−1=∣A∣1​A。

对伴随矩阵做以下总结： ① 按行求的代数余子式，按列放； ② 公式 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E永远成立； ③ 公式 ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1永远成立； ④ 因为 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗，所以 ∣ A ∣ A − 1 = A ∗ |A|A^{-1}=A^* ∣A∣A−1=A∗，即 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^*=|A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1； ⑤ ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ ( A ∗ ) − 1 = ∣ A ∣ n − 1 1 ∣ A ∣ A = ∣ A ∣ n − 2 A (A^*)^*=|A^*|(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}\frac{1}{|A|}A=|A|^{n-2}A (A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1∣A∣1​A=∣A∣n−2A； ( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ = ∣ A ∗ ∣ n − 2 A ∗ = ( ∣ A ∣ n − 1 ) n − 2 ∣ A ∣ A − 1 = ∣ A ∣ n 2 − 3 n + 3 A − 1 ((A^*)^*)^*=|A^*|^{n-2}A^*=(|A|^{n-1})^{n-2}|A|A^{-1}=|A|^{n^2-3n+3}A^{-1} ((A∗)∗)∗=∣A∗∣n−2A∗=(∣A∣n−1)n−2∣A∣A−1=∣A∣n2−3n+3A−1； ( ( A ∗ ) ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ n − 2 A ) − 1 = ( ∣ A ∣ n − 2 ) − 1 A − 1 = ∣ A ∣ 2 − n A − 1 ((A^*)^*)^{-1}=(|A|^{n-2}A)^{-1}=(|A|^{n-2})^{-1}A^{-1}=|A|^{2-n}A^{-1} ((A∗)∗)−1=(∣A∣n−2A)−1=(∣A∣n−2)−1A−1=∣A∣2−nA−1； ( ( ( A ∗ ) ∗ ) ∗ ) − 1 = ( ∣ A ∣ n 2 − 3 n + 3 A − 1 ) − 1 = ( ∣ A ∣ n 2 − 3 n + 3 ) − 1 A = ∣ A ∣ − n 2 + 3 n − 3 A (((A^*)^*)^*)^{-1}=(|A|^{n^2-3n+3}A^{-1})^{-1}=(|A|^{n^2-3n+3})^{-1}A=|A|^{-n^2+3n-3}A (((A∗)∗)∗)−1=(∣A∣n2−3n+3A−1)−1=(∣A∣n2−3n+3)−1A=∣A∣−n2+3n−3A。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.4 逆矩阵（二）