为什么矩形面积等于长乘宽？

看题主的身份，是学习金融的，金融学应该学过概率论。

而概率论的基础便是测度理论

其实这个问题本身就只是测度理论的问题。

我们可以给图形随便定义面积。但要定义地比较好，比较实用；要定义地有传统的面积的各种优秀的性质。

这一点在概率论里面对于概率的定义里已经谈得很好了。

比如说在一个集合族上定义概率测度，就需要这个概率测度满足可数可加性等性质。

回到问题本身来，我完全可以在一些二维图形上定义出面积测度来，并且将被我定义了面积测度的图形称为是可以测量面积的，简称可测的。

我们可以想当然地要求这样的面积测度有哪些比较好的性质，例如：

①旋转不变性：将可测的图形旋转之后它的面积测度不改变；

②平移不变性：将可测的图形平移之后，它的面积测度不发生改变；

③伸缩齐次性：将可测图形中的每个点的横、纵坐标都乘以2或别的正数x，得到新图形，新图形的面积变为原来的4倍或x²倍；

④二可加性：两个没有交点的可测图形放在一起得到的新图形的面积等于原来两个图形的面积的和；

⑤可数可加性：将可列个互不相交的可测图形放在一起得到新图形，新图形的面积等于原来所有图形的面积的和。

⑥单调性：如果一个可测的图形被另一个可测的图形所覆盖，那么前者的面积必然不大于后者的面积。

需要注意的是：

❶以上的性质，特别是①②③，在很多情况下是可以扔掉的

❷以上性质都只针对可测集(你定义了测度的图形)成立，切忌生搬硬套到不可测量面积的图形上去，很容易闹笑话

❸④等价于有限可加性

❹这里默认图形的面积必须是正数或0

在以上所有性质的要求之上，我们再做出更强的一条规定：

以1为边长的正方形的面积为1

(注：可以是闭的、开的、半闭半开的)

就会得到传统的面积测度，会得出长方形的面积测度等于长乘宽的结论。

而不给这条设定，只给出之前的几条设定，就会得到不同的，丰富多彩的测度。

(所以长方形的测度真的未必就是长乘宽，但其实在规定了①②③的前提下只是差一个常数倍，这个常数就是单位正方形的面积，问题不大)

补充：题主所给的测度是不存在的，因为它连最最基本的有限可加性都不满足。把一个长方形分成四个相同的小长方形就很容易验证这一点。

需要注意的是，我们平时谈到面积这个词的时候，一般指的是狭义的规定了单位正方形面积为1的那种面积测度，而非别的测度。所以很多人会认为这是默认的并且问题问的是废话，根本不算做问题。

接下来聊一点关于勾股定理的事情，勾股定理我了解地不多，上次翻了一点书，似乎是说在Hilbert空间里，对于正交的向量a与b，它们满足：

|a|²+|b|²=|a+b|²

等以后看多了书，了解地深入了一些再来补充吧。