《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读：2022年版与2011年版“内容要求”对比情况

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（一）数与代数1.数与式（1）有理数2011版 1.有理数 2022版 （1）有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 （2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）（删除）。 （3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。 （4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 （5）能运用有理数的运算解决简单的问题。 ①理解负数的意义（例64）（新增）；理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法。 ③理解乘方的意义。 ④掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 ⑤能运用有理数的运算解决简单的（删除）问题。（2）实数2011版 2. 实数 2022版 （2）实数（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 （2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 （3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。 （4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例47）。 （5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。 （6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算（参见例48）。 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成（新增），了解（修改）实数与数轴上的点一一对应。（顺序有变，平方根与立方根、乘方与开方等移后） ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小（新增）。 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义（新增），会（修改）求实数的相反数与绝对值。 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数（修改）的平方根，会用立方运算求千（修改）以内完全立方数（修改）（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并（删除）会按问题的要求进行简单的近似计算（例65）（修改）。 ⑧了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。（3）代数式2011版 3.代数式 2022版 （3）代数式 （包含2011版中“4.整式与分式” ）（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义（参见例49）。 （2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示。 （3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。 ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式（原（2）（3）整合）。 ③会把具体数代入代数式进行计算。（原（2）（3）整合并修改） ④了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。 ⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加减（修改）运算；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法）（修改）。 ⑥理解（修改）乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b2，了解公式的几何背景，并（删除）能利用公式进行简单计算和推理（新增）。 ⑦能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为（修改）正整数）。 ⑧了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能对（修改）简单的分式加、减、乘、除运算。 ⑨了解代数推理（例66）。（新增）2011版 4.整式与分式 2022版 （并入到（3）代数式中）（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。 （2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。 （3）能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例50）。 （4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。 （5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。2.方程与不等式（1）方程与方程组2011版 1.方程与方程组 2022版 （1）方程与方程组（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见例51）。 （2）经历估计方程解的过程（参见例52）。 （3）掌握等式的基本性质。 （4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。 （5）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 （6）*能解简单的三元一次方程组。 （7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 （8）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。 （9）*了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。 （10）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 ①能根据现实情境理解方程的意义（新增），能针对（修改）具体问题中的数量关系（删除）列出方程；（修改）体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见例51）。（删除）理解方程解的意义（新增），经历估计方程解的过程。（原（1）（2）整合并修改） ②掌握等式的基本性质；能解一元一次方程和（修改）可化为一元一次方程的分式方程。（原（3）（4）整合） ③掌握代入（删除）消元法和加减消元法（删除），能解二元一次方程组。 ④*能解简单的三元一次方程组。 ⑤理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 ⑥会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及（修改）两个实根是否相等。 ⑦了解一元二次方程的根与系数的关系（例67）。（去星号） ⑧能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性（修改）。（2）不等式与不等式组2011版 2.不等式与不等式组 2022版 （2）不等式与不等式组（1）结合具体问题，了解不等式的意义（参见例53），探索不等式的基本性质。 （2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 （3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。 ①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 ②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。 ③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。3.函数（1） 函数2011版 1.函数 2022版 （1）函数的概念（修改）（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。 （2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。 （3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析（参见例54）。 （4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。 （5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（参见例55）。 （6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论（参见例56）。 ①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；结合实例，（删除）了解函数的概念和三种（删除）表示法，能举出函数的实例。（原（1）（2）整合） ②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析（例68）。 ③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。 ④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义（例69）（新增）。 ⑤结合结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。（2）一次函数2011版 2. 一次函数 2022版 （2）一次函数（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（参见例57）。 （2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。 （3）能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。 （4）理解正比例函数。 （5）体会一次函数与二元一次方程的关系。 （6）能用一次函数解决简单实际问题。 ①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（例70）；会运用（修改）待定系数法确定一次函数的表达式。（原（1）（2）整合） ②能画出一次函数的图象，根据一次函数（删除）的图象和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况；理解正比例函数。（原（3）（4）整合） ③体会一次函数与二元一次方程的关系。 ④能用一次函数解决简单实际问题。（3） 二次函数2011版 4. 二次函数 2022版 3. 二次函数 （与2011版中二次函数、反比例函数的顺序有所调整）（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 （2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。 （4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（删除）。 ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 ②能（修改）用描点法（删除）画出（删除）二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）。 ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并（删除）能解决相应的（修改）实际问题（例71）。 ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增），会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。（4） 反比例函数2011版 3. 反比例函数 2022版 （4）反比例函数（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 （2）能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。 （3）能用反比例函数解决简单实际问题。 ①结合具体情境体会反比例函数的意义（例72），能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 ②能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。 ③能用反比例函数解决简单实际问题。（二）图形与几何1.图形的性质（1）点、线、面、角2011版 1. 点、线、面、角 2022版 （1）点、线、面、角（1）通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等（参见例58）。 （2）会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 （3）掌握基本事实：两点确定一条直线。 （4）掌握基本事实：两点之间线段最短。 （5）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。 （6）理解角的概念，能比较角的大小。 （7）认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。 ①通过实物和具体（删除）模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念（修改）。 ②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 ③掌握基本事实：两点确定一条直线。 ④掌握基本事实：两点之间线段最短。 ⑤理解两点间距离的意义，能度量和表达（新增）两点间的距离。 ⑥理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位（修改），能（修改）进行简单的单位（新增）换算，并（删除）会计算角的和、差。（原（6）（7）整合） ⑦能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线。（由2011版“6．尺规作图”处移至此处）（2）相交线与平行线2011版 2．相交线与平行线 2022版 （2）相交线与平行线（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。 （2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 （3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 （4）掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （5）识别同位角、内错角、同旁内角。 （6）理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。 （7）掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 （8）掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。*了解平行线性质定理的证明（参看例59）。 （9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 （10）探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。 （11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。 ①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或（修改）等角）的余角相等，同角（或（修改）等角）的补角相等的性质。 ②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板（修改）或量角器过一点画已知直线的垂线。 ③能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线（例73）。（由2011版“6．尺规作图”处移至此处） ④掌握基本事实：同一平面内（新增）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ⑤理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 ⑥识别同位角、内错角、同旁内角。 ⑦理解平行线的（修改）概念。 ⑧掌握平行线（修改）基本事实Ⅰ（修改）：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 ⑨掌握平行线（修改）基本事实Ⅱ（修改）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这（修改）两条（修改）直线平行。 ⑩探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这（修改）两条（修改）直线平行。 掌握平行线的性质定理Ⅰ（修改）：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。*了解平行线性质（删除）定理的证明（例74）。 探索并证明平行线的性质定理Ⅱ（修改）：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。 能用三角板（修改）和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线。（新增） 了解平行于同一条直线的两条直线平行。（3）三角形2011版 3．三角形 2022版 （3）三角形（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 （2）探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。 （3）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。 （4）掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（参见例60）。 （5）掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（参见例60）。 （6）掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 （7）证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 （8）探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 （9）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （10）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 （11）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 （12）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 （13）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 （14）了解三角形重心的概念。 ①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 ②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ③证明三角形的任意两边之和大于第三边。 ④理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。 ⑤掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 ⑥掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 ⑦掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 ⑧证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 ⑨理解角平分线的概念（修改，原2011版第（1）条中的表述移至此处），探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 ⑩理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 理解（修改）等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个（修改）底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索（修改）等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 理解（修改）直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 了解三角形重心的概念。 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。（由2011版“6．尺规作图”处移至此处）（4）四边形2011版 4．四边形 2022版 （4）四边形（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 （2）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。 （3）探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。 （5）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质（参见例61）。 （6）探索并证明三角形的中位线定理。 ①了解多边形的概念及（修改）多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念（删除）；探索并掌握多边形内角和与外角和公式。（注释中：本标准中多边形指凸多边形。）（新增） ②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（新增）的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。 ③探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。（修改）探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ④理解（修改）两条平行线之间距离的概念（修改），能度量两条平行线之间的距离。 ⑤探索并证明矩形、菱形、正方形（删除）的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩形、菱形（修改）的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质（参见例61）。（删除）正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增）。 ⑥探索并证明三角形的中位线定理。（5）圆2011版 5．圆 2022版 （5）圆（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。 （2）*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 （3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 （4）知道三角形的内心和外心。 （5）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线（删除）。 （6）*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等（参见例62）。 （7）会计算圆的弧长、扇形的面积。 （8）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握（修改）点与圆的位置关系。 ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。（去星号） ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等（新增）。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数（删除）等于它所对弧上的圆心角度数（删除）的一半；直径所对的圆周角是直角，（修改）90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 ④了解（修改）三角形的内心与（修改）外心。 ⑤了解直线与（修改）圆的位置关系，掌握切线的概念（例75）。 ⑥能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接（修改）正六边形。（由2011版“6．尺规作图”处移至此处） ⑦*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线（例76）。（新增） ⑧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆（删除）的两条切线长相等。 ⑨会计算圆的弧长、扇形的面积。 ⑩了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。2011版 6．尺规作图 2022版 分散到各部分内容要求中（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 （2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 （3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。 （4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。 （1）作一条线段等于已知线段；→2022版移至小学部分。（小学部分【教学提示】：图形的认识教学要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边（例32），并说出其中的道理，经历根据“两点间线段最短”的基本事实说明三角形三边关系的过程，形成推理意识。） （1）作一个角等于已知角；作一个角的平分线；→2022版移至“（1）点、线、面、角”第⑦条处。 （1）作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。→2022版移至“（2）相交线与平行线”第③条处。 （2）已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。→2022版移至“（3）三角形”第 条处。 （3）过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。→2022版移至“（5）圆”第⑥条处。 （4）在尺规作图中，学生应（修改）了解作图的原理（修改），保留作图的痕迹，不要求写出作法。→2022版移至注释部分。（6）定义、命题、定理2011版 7．定义、命题、定理 2022版 （6）定义、命题、定理（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。 （2）结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 （3）知道证明的意义和证明的必要性（参见例74），知道证明要合乎逻辑（参见例63），知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。 （4）了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。 （5）通过实例体会反证法的含义。 ①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。 ②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 ③知道证明的意义和证明的必要性（例77），知道数学思维（修改）要合乎逻辑（例78），知道证明的过程（删除）可以用（修改）不同的表达（删除）形式表述证明的过程（修改），会用（修改）综合法的证明格式（修改）。 ④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的（例79）。 ⑤通过实例体会反证法的含义（例74）。2. 图形的变化（1）图形的轴对称2011版 1．图形的轴对称 2022版 （1）图形的轴对称（1）通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分（参见例64）。 （2）能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 （3）了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 （4）认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 ①通过具体实例理解（修改）轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，（删除）对应点的连线被对称轴垂直平分。 ②能画出简单平面图形（点、（修改）线段、（修改）直线、（修改）三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 ③理解（修改）轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 ④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。（2）图形的旋转2011版 2．图形的旋转 2022版 （2）图形的旋转（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（参见例64）。 （2）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 （3）探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 （4）认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 ①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过（删除）旋转所（删除）得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等（例80）。 ②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 ③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 ④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。（3）图形的平移2011版 3．图形的平移 2022版 （3）图形的平移（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等（参见例64）。 （2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 （3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。 ①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 ②认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。 ③运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。（4）图形的相似2011版 4．图形的相似 2022版 （4）图形的相似（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 （2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 （3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。 （5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 （6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 （7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题（参见例74）。 （8）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。 （9）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 （10）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 ①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 ②通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *了解相似三角形判定定理的证明。 ⑤了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 ⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 ⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题（例81）。 ⑧利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。 ⑨会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 ⑩能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。（5）图形的投影2011版 5．图形的投影 2022版 （5）图形的投影（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。 （2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 （3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。 （4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。 ①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。 ②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 ③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物（删除）模型。 ④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。3. 图形与坐标（1）图形的位置与坐标2011版 1．坐标与图形位置 2022版 （1）图形的位置与坐标（修改）（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。（删除） （2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。 （3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置（参见例65）。 （4）对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。 （5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置（参见例66）。 ①理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面（新增）直角坐标系；在给定的平面（新增）直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，（修改）由点的位置写出它的（删除）坐标。 ②在实际问题中，能建立适当的平面（新增）直角坐标系，描述物体的位置。 ③对给定的正方形，会选择合适的平面（新增）直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达（修改）一个（删除）简单图形。 ④在平面上，运用（修改）方位角和距离刻画两个物体的相对位置。（2）图形的运动与坐标2011版 2．坐标与图形运动 2022版 （2）图形的运动与坐标（修改）（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。 （2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。 （3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。 （4）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。 ①在平面（新增）直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并（删除）知道对应顶点坐标之间的关系。 ②在平面（新增）直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离（新增）后图形的顶点坐标，并（删除）知道对应顶点坐标之间的关系。 ③在平面（新增）直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和（修改）原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。 ④在平面（新增）直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上（删除））分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。（三）统计与概率1. 抽样与数据分析2011版 （一）抽样与数据分析 2022版 1. 抽样与数据分析1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。 2. 体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样（参见例67）。 3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。 4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例68）。 5. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差（参见例69）。 6. 通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息（参见例70）。 7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。 8. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例70）。 9. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例71）。 （1）体会抽样的必要性，通过实例认识（修改）简单随机抽样（例83）。 （2）进一步（修改）经历收集、整理、描述、（修改）分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。 （3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。 （4）理解平均数、中位数、众数（新增）的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，知道（修改）它们是对（修改）数据集中趋势的描述（例84）。 （5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组（修改）简单数据的离差平方和（新增）、方差。 （6）经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法（例85）。（新增） （7）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含（修改）的信息。 （8）体会样本与总体关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差（修改）。 （9）会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义（例86）。（新增） （10）能解释数据分析的（修改）结果，能（修改）根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。 （11）通过表格、折线图、趋势图（例87）等，感受随机现象的变化趋势。2. 随机事件的概率2011版 （二）事件的概率 2022版 2. 随机（修改）事件的概率1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例72、例73）。 2. 知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。 （1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解随机（修改）事件的概率（例88）。 （2）知道通过大量的（删除）重复试验，可以用频率来（删除）估计概率。（四）综合与实践2011版 2022版1．结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。 2．会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验。 3．通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。 （参见例74，例75，例76，例77，例78，例79） （1）在社会生活和科学技术的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程，感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题，逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养。（修改） （2）用数学的思维方法，运用数学与其他相关学科的知识，综合地、有逻辑地分析问题，经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程，提升思维能力，逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养。（修改） （3）用数学的语言，将现实问题转化为数学问题，经历用数学方法解决问题的过程，感悟科学研究的过程与方法，感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效，积累数学活动经验，逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养（例89至例91）。（修改）21

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