三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説!|高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」 | 您所在的位置:网站首页 › 直角三角形的外心图解 › 三角形の外心: 定義と性質を証明問題で解説!|高校生向け受験応援メディア「受験のミカタ」 |
三角形の外心は、性質などが試験などでよく問われます。 外心に関する問題はパターンが決まっているので難しくありません。ですが、一度やっておかないとわからないと思います。 今回は、性質や証明、例題を解いて外心の知識を深めましょう。 【PR】勉強を効率的に継続して、志望校に合格したい方必見! ↓無料ダウンロードはこちら↓ 【目次】 1.三角形の外心とは? 2.三角形の外心:証明 3.三角形の外心の例題 4.三角形の外心: おわりに 1.三角形の外心とは?三角形の外心は、三角形ABCに外接する円の中心です。 「外」心円の中「心」ですから、外心です。 三角形の外心で、押さえておくべきなのは以下の点です。 ① 三角形ABCの外心とは、三角形ABCの外接円の中心Oである(定義) ② 外心は三角形の3本の「垂直二等分線」の交点である 2.三角形の外心:証明 次の命題を証明します。 命題:三角形ABCの3辺の垂直二等分線の交点は一点で交わる(この点が外心です)証明の前に外心の定義からわかることを考えておきましょう。 外接円は三角形の頂点をすべて通るような円です。 円の性質は、ある点から等しい距離にある点の集まりです。 ですから、外接円の中心すなわち外心とは、三角形の3つの頂点から等しい距離にある点なのです。 一方で垂直二等分線とは、ある2点から等しい距離にある点の集まりです。
三角形ABCの2辺AB、ACの垂直二等分線の交点をOとおくと、OA=OB、OA=OCからOB=OCとなります。(つまりOA=OB=OCです。) よって三角形OBCは二等辺三角形です。 OB=OCとなる二等辺三角形の頂点OからBCに下した垂線の足Lは辺BCの中点となりますので、OLは辺BCの垂直二等分線となりますから、命題が示されました。 3.三角形の外心の例題 問題:以下の図形の点Oが三角形ABCの外心であるときaの角度を求めよ。 問題1:
点Oは△ABCの外心よりAO=BO=COです。 △OABに注目したときAO=BOより二等辺三角形なので∠OAB=∠OBAです。 同様に、△OBC、△OCAも二等辺三角形なので∠OBC=∠OCB、∠OCA=∠OACです。 これより、 ∠OAB=∠OBA=28° ∠OAC=∠BAC-∠OAB=54°-28°=26°=∠OCA ∠OBC=∠OCB= a となります。 あとは、三角形の内角の和が180°であることから ∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB+∠OCA+∠OAC=180° ⇔28°+28°+ a + a +26°+26°=108°+ 2a =180° ∴a=36° 解説:問題2(回答1) 点Oが外心なのでOA=OB=OCとなり、△OAB、△OCAは二等辺三角形となります。 これより、 ∠OAB=∠OBA= a ∠OCA=∠OAC=40° となります。 問題1と同様に内角の和が180°であることから計算してa=50°となります。 解説:問題2(回答1) 円の中心を通る三角形の円周角は90°であることが一般的に知られています。 また、この知識は受験で用いても問題ありません。 これを用いると∠BAC=90°となり、∠BAC=∠OAB+∠OAC= a +40°=90° よって a =50°になります。 4.三角形の外心: おわりに 最後までご覧下さってありがとうございました。 この記事では、三角形の外心についてまとめました。 外心では、外接円という円を扱います。 つまり、円の性質も合わせて知っておく必要があるということです。 また三角形と円が絡む話題として、他に外心と内心があります。併せて確認しておいてください! ※三角形の内心: 定義と性質を証明問題形式で解説! ※三角形の重心: 定義と性質を証明問題と座標を用いる例題で解説! 円の性質もしっかり復習しておきましょう! アンケートにご協力ください!【利用状況に関するアンケート】※アンケート実施期間:2023年4月5日~ 受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、受験のミカタの利用状況についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。 ![]() 受験のミカタから最新の受験情報を配信中! この記事の執筆者「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している「受験応援メディア」です。 |
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