高中数学：最小二乘法与线性回归方程

这个直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数（回归系数）。

例1、推导2个样本点的线性回归方程

设有两个点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。

解：由最小二乘法，设 ，则样本点到该直线的“距离之和”为

从而可知：当

时，b有最小值。将

代入“距离和”计算式中，视其为关于b的二次函数，再用配方法，可知：

此时直线方程为：

设AB中点为M ，则上述线性回归方程为

可以看出，由两个样本点推导的线性回归方程即为过这两点的直线方程。这和我们的认识是一致的：对两个样本点，最好的拟合直线就是过这两点的直线。

用最小二乘法对有两个样本点的线性回归直线方程进行了直接推导，主要是分别对关于a和b的二次函数进行研究，由配方法求其最值及所需条件。实际上，由线性回归系数计算公式：

可得到线性回归方程为

设AB中点为M ，则上述线性回归方程为

。

例2、求回归直线方程

在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度 下，溶解于100份水中的硝酸钠份数 的数据如下

描出散点图并求其回归直线方程.

解：建立坐标系，绘出散点图如下：

由散点图可以看出：两组数据呈线性相关性。设回归直线方程为：

由回归系数计算公式：

可求得：b=0.87，a=67.52，从而回归直线方程为：y=0.87x+67.52。

例3、综合应用

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

（1）求回归直线方程；（2）估计使用10年时，维修费用约是多少？

解：（1）设回归直线方程为：

（2）将x = 10代入回归直线方程可得y = 12.38，即使用10年时的维修费用大约是12.38万元。

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