一文读懂超导量子比特

1）线性振荡电路的量子化

量子力学系统取决于与时间相关的薛定谔方程：

其中，|ψ(t)⟩是量子系统在时间t的状态，ℏ是简化的普朗克常数h/2p，H^是描述系统总能量的“哈密顿量（Hamiltonian）”，确定一个系统的哈密顿量是推导其动力学行为的第一步。

以无耗散（如超导）线性LC谐振电路的经典描述为例，系统中的能量在电容器C中的电能和电感L中的磁能之间振荡。谐波振荡器（QHO）的线性特征在处理量子信息时有着自然的限制：由于许多门操作取决于频率的选择性，图1b所示的QHO势能曲线具有等距水平间距。具体来说，我们希望通过超导电路实现量子比特。比如取基态作为|0⟩，第一激发态作为|1⟩。但是由于系统能级是等间距的，并不能确保量子比特是仅仅是从|0⟩变成了|1⟩而没有从|1⟩变成|2⟩，甚至更高的能级。因此超导LC电路不是一个易于操控的量子比特。

图1 a.并联LC振荡器电路，电感L与电容C并联，超导相位表示为ϕ，参考基态为零；b.QHO的能量势，其中能级是等距间隔的ℏωr；c.约瑟夫森量子比特电路，其中非线性电感LJ（橙色虚线框中）被电容Cs分流；d.约瑟夫森电感将二次能量势（红色虚线）重塑为正弦波（蓝色实线），这就产生了非对称的能量水平，能够隔离两个最低的能级|0⟩和|1⟩，形成一个能量分离的ℏω01算子空间，并与ℏω12不同。

为了缓解这一动态误差问题，需要在系统中加入非谐波性（或非线性），一般来说，非谐波性越大越好。因此，引入约瑟夫森结——一个非线性、无耗散的电路元件，构成超导电路的主干。如图2所示，通过约瑟夫森结代替QHO的线性电感，作为非线性电感，可以调整势能形式。

图2 a.约瑟夫森结的形态；b.约瑟夫森结的电路表示；c.约瑟夫森结的伏安特性曲线

此时修正后的哈密顿量方程为：

其中，EC=e2/(2C∑)，C∑=Cs+Cj是总电容；EJ=Ic(Φ0/2π)代表约瑟夫森结的能量。在电路中引入约瑟夫森结后，势能不再采取明显的抛物线形式（谐波谱源于此），而是以余弦波形式为特征。因此，约瑟夫森结是使振荡器非谐波的关键因素，使我们能够确定一个独特的、可处理的量子两能级系统，如图1d所示。此时能级差可以表示为：

相邻两个能级差越大越利于调控，同时，一旦加入了非线性，系统的动态就受上式中的主导能量支配，反映在EJ/EC的比率上。随着时间的推移，超导量子比特已经趋向于具有EJ≤EC的电路设计。因为，在EJ≤EC的相反情况下，量子比特对电荷噪声变得高度敏感，而电荷噪声比磁通噪声更难缓解，因此很难实现高相干性；此外，目前的技术允许在哈密顿量的电感（或电势）部分工程中具有更大的灵活性，在在EJ≤EC的极限下工作，将使系统对潜在哈密顿量变化更加敏感。

2）量子哈密顿量（Hamiltonian）工程

1.可调谐量子比特

为了以高保真度实现快速门操作，许多量子处理器架构都具有可调谐的量子比特频率。例如，某些情况下我们需要将两个量子比特带入共振，以交换能量；同时我们还需要在空转期间将它们分开，以尽量减少相互作用。

目前广泛使用的技术是用一个由两个相同的“结”打断的环路来代替单个约瑟夫森结，形成直流超导量子干涉装置（DC-SQUID），如图3a所示。由于SQUID两端间干扰，两个结的有效临界电流可以通过施加磁通量穿透环路而降低。利用这个条件可以消除一个自由度：约瑟夫森结的能量（EJ）可以通过外部磁通Φext来调整（通过SQUID临界电流）。此时，EJ变化服从正弦函数，量子比特的频率可以通过Φext定期调整，如图3b所示。

图3 电容分流量子比特的模块电路表示。a.和b.是对称的transmon量子比特，其约瑟夫森能量EJ被一个电容器分流，产生一个充电能量EC；c.和d.是不对称的transmon量子比特；e.和f.是C-shunt通量量子比特，其中一个小的结（红色）与两个较大的结（橙色）分流；g.和h.是C-shunt Fluxonium量子比特，其小结与大的N结阵列进行电感分流。

从图3可以看出，工程中对称transmon、非对称transmon并不改变电路拓扑结构，然而对实际应用却有着深远的影响。在整个可调谐的频率范围内，通量敏感性被抑制（如图3d所示）。非对称transmon引入了小的频率调谐范围，足以补偿制造耗费而不会引入不必要的对磁通量噪声的大敏感性，保持了高相干性；再如，绝热控制相位（CPHASE）门的表面编码方案需要在量子比特之间进行特定的频率配置，以避免频率拥挤问题，而非对称transmon很适合其明确的频率范围。

总的来说，随着量子处理器规模扩大、制造技术提高，非对称transmon在未来可能会有更广泛的应用。

2.更大的非调谐性：通量量子比特和Fluxonium

Transmon型量子比特不论是否对称，仍产生相同的正弦电势，因此，量子比特特性、设计并没有根本改变。特别是，transmon型量子比特中有限的非谐波性在本质上导致了对高能状态的重大残留激发，破坏了门操作的性能。通量量子比特（flux qubit，如图3e）改变了电路的拓扑结构，重新塑造了势能曲线。图3e中的每个“结”都与一个相位变量相关，通量条件可以再次消除一个自由度。在这一操作下，势能可能呈现出单井（γ≥2）或双井（γ