开关电源补偿环路设计基础

1.穿越频率（cross frequency）：增益曲线穿越0dB的频率点；

2.相角裕度（Phase Margin）:相位曲线在fc处的相位与-180度的差；

3.增益裕度（Gain Margin）:增益曲线在相位曲线达到-180度的频率处对应的增益(当相位曲线趋近于-180度时，增益为无穷大)

4.带宽：增益曲线下降3dB时的频率（一般带宽只考虑fH，fL-> 0Hz）。系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。带宽越大，表明系统对控制信号的跟踪能力越强，但对高频的抑制效果减弱（增益曲线上高频噪声仍有较大的值）

5.0dB穿越极点，这个是指考虑初始极点的曲线穿越0dB时的频率。

6.中频增益：刚开始系统以-20dB/dec衰减，遇到一个零点时，保持的增益称为中频增益。例如G= (1+s/Wz)/(s/Wp)的中频增益G0=Wp/Wz；

7.最小相位系统：系统的闭环传递函数极点和零点的实部都小于或等于零(左半平面)，则称它是最小相位系统，如果开环传递函数中有正实部的零点或极点，或有延迟环节，则称系统是非最小相位系统

8.零点、极点等；奈奎斯特图、波特图等基本知识

9.电路稳定的原则是：开环总增益为1的穿越频率处的开环总相移小于360，并留有一定的裕量；穿越0dB时的斜率为-20dB/dec

1.单个极点，引入一个-1（-20dB/dec）的斜率和一个90度滞后 H ( s ) = 1 1 + s w p H(s)=\cfrac{1}{1+\cfrac{s}{w_p}} H(s)=1+wp​s​1​ 2.单个零点，引入一个+1斜率和一个90度超前 H ( s ) = 1 + s w z 1 H(s)=\cfrac{1+\cfrac{s}{w_z}}{1} H(s)=11+wz​s​​ 3.反向零点，引入一个-1斜率和一个90度超前 H ( s ) = 1 + w z s 1 H(s)=\cfrac{1+\cfrac{w_z}{s}}{1} H(s)=11+swz​​​ 4.右半平面零点，引入一个+1斜率和一个90度滞后 H ( s ) = 1 − s w z 1 H(s)=\cfrac{1-\cfrac{s}{w_z}}{1} H(s)=11−wz​s​​ 5.共轭复极点（不考虑C的esr时的LCR输出滤波传递函数） H ( s ) = 1 s 2 ω 0 2 + 2 ζ s ω 0 + 1 = 1 s 2 ω 0 2 + s ω 0 Q + 1 H(s)=\cfrac{1}{\cfrac{s^{2}}{\omega_{0}^{2}}+2 \zeta \cfrac{s}{\omega_{0}}+1}=\cfrac{1}{\cfrac{s^{2}}{\omega_{0}^{2}}+\cfrac{s}{\omega_{0} Q}+1} H(s)=ω02​s2​+2ζω0​s​+11​=ω02​s2​+ω0​Qs​+11​ 其中,2 ζ \zeta ζ称为临界阻尼 w 0 = 1 L C Q = R C L = 1 2 ζ w_0=\sqrt{\cfrac{1}{LC}}\\ Q=R\sqrt{\cfrac{C}{L}}=\cfrac{1}{2\zeta} w0​=LC1​ ​Q=RLC​ ​=2ζ1​

6.一般表达式（不含有初始极点） G ( s ) = N ( s ) D ( s ) = G o ( 1 + s z 1 ) ( 1 + s z 2 ) ⋯ ( 1 + s z m ) ( 1 + s p 1 ) ( 1 + s p 2 ) ⋯ ( 1 + s p n ) = G o ( 1 + s 1 / z 1 ) ( 1 + s 1 / z 2 ) ⋯ ( 1 + s 1 / z m ) ( 1 + s 1 / p 1 ) ( 1 + s 1 / p 2 ) ⋯ ( 1 + s 1 / p n ) \begin{align} G(s)=\cfrac{N(s)}{D(s)}=&G_o\cfrac{(1+sz_1)(1+sz_2)\cdots(1+sz_m)}{(1+sp_1)(1+sp_2)\cdots(1+sp_n)}\\=&G_o\cfrac{\left(1+\cfrac{s}{1/z_1}\right)\left(1+\cfrac{s}{1/z_2}\right)\cdots\left(1+\cfrac{s}{1/z_m}\right)}{\left(1+\cfrac{s}{1/p_1}\right)\left(1+\cfrac{s}{1/p_2}\right)\cdots\left(1+\cfrac{s}{1/p_n}\right)} \end{align} G(s)=D(s)N(s)​==​Go​(1+sp1​)(1+sp2​)⋯(1+spn​)(1+sz1​)(1+sz2​)⋯(1+szm​)​Go​(1+1/p1​s​)(1+1/p2​s​)⋯(1+1/pn​s​)(1+1/z1​s​)(1+1/z2​s​)⋯(1+1/zm​s​)​​​ 含有初始极点，标准写法将含有初始极点的改写成含有反相零点 G ( s ) = N ( s ) D ( s ) = G o ( 1 + s z 1 ) ( 1 + s z 2 ) ⋯ ( 1 + s z m ) s p 0 ( 1 + s p 1 ) ( 1 + s p 2 ) ⋯ ( 1 + s p n ) = G o G 1 ( 1 + 1 / z 1 s ) ( 1 + s 1 / z 2 ) ⋯ ( 1 + s 1 / z m ) ( 1 + s 1 / p 1 ) ( 1 + s 1 / p 2 ) ⋯ ( 1 + s 1 / p n ) \begin{align} G(s)=\cfrac{N(s)}{D(s)}=&G_o\cfrac{(1+sz_1)(1+sz_2)\cdots(1+sz_m)}{sp_0(1+sp_1)(1+sp_2)\cdots(1+sp_n)}\\=&G_o G_1\cfrac{\left(1+\cfrac{1/z_1}{s}\right)\left(1+\cfrac{s}{1/z_2}\right)\cdots\left(1+\cfrac{s}{1/z_m}\right)}{\left(1+\cfrac{s}{1/p_1}\right)\left(1+\cfrac{s}{1/p_2}\right)\cdots\left(1+\cfrac{s}{1/p_n}\right)} \end{align} G(s)=D(s)N(s)​==​Go​sp0​(1+sp1​)(1+sp2​)⋯(1+spn​)(1+sz1​)(1+sz2​)⋯(1+szm​)​Go​G1​(1+1/p1​s​)(1+1/p2​s​)⋯(1+1/pn​s​)(1+s1/z1​​)(1+1/z2​s​)⋯(1+1/zm​s​)​​​ 或者将基本环节分为比例、微分、积分、滞后等，如图所示

以一对零极点为例 G ( s ) = 1 + s / w z 1 + s / w p G(s)=\cfrac{1+s/w_z}{1+s/w_p} G(s)=1+s/wp​1+s/wz​​ 上述相角(或者认为是一对零极点所能做到提升的相位角大小)为 B o o s t = A r g ( G ( j w ) ) = a r c t a n ( w w z ) − a r c t a n ( w w p ) Boost=Arg(G(jw))=arctan(\cfrac{w}{w_z})-arctan(\cfrac{w}{w_p}) Boost=Arg(G(jw))=arctan(wz​w​)−arctan(wp​w​) 对上式进行求导有 d d f ( a r c t a n ( f f z − a r c t a n ( f f p ) ) ) = 1 f z ( 1 + f 2 f z 2 ) − 1 f z ( 1 + f 2 f p 2 ) = 0 \cfrac{d}{df}\left(arctan(\cfrac{f}{f_z}-arctan(\cfrac{f}{f_p}))\right)=\cfrac{1}{f_z(1+\cfrac{f^2}{f_z^2})}-\cfrac{1}{f_z(1+\cfrac{f^2}{f_p^2})}= 0 dfd​(arctan(fz​f​−arctan(fp​f​)))=fz​(1+fz2​f2​)1​−fz​(1+fp2​f2​)1​=0 导数为0解得下式，这表明，当fp,fz已知时，选取在其几何均值具有最大的相位提升。 f c = f z f p f_c=\sqrt{f_zf_p} fc​=fz​fp​ ​ 反过来可以探讨当fc处于fp,fz的几何均值时，fp与fz的关系，探讨此时最大的相角提升，当如图显示了当fp=xfz时的相位提升。

理论上，一对零极点可以提供的相角为（-90，90）

引入k因子，k=fp/fz,那么提升的角度为 B o o s t = a r c t a n ( k ) − a r t a n ( 1 k ) = 2 a r c t a n ( k ) − π 2 Boost=arctan(k)-artan(\cfrac{1}{k})=2arctan(k)-\cfrac{\pi}{2} Boost=arctan(k)−artan(k1​)=2arctan(k)−2π​ 解得 k = t a n ( π 4 + b o o s t 2 ) f p = k f c , f z = f c / k k=tan(\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{boost}{2})\\ fp=kfc,fz=fc/k k=tan(4π​+2boost​)fp=kfc,fz=fc/k 显然，上述方程是只需要知道两个未知数，通常是提升的角度和穿越频率，那么零极点即可求。当然当已知三个未知数时，上述k因子法不再试用，只需要解相位角方程即可求。

补偿网络的传递函数是通过，mathematical 计算出零极点 G ( s ) = V e r r ( s ) V o u t ( s ) = − Z 2 Z 1 G(s)=\cfrac{V_{err}(s)}{V_{out}(s)}=-\cfrac{Z_2}{Z_1} G(s)=Vout​(s)Verr​(s)​=−Z1​Z2​​ 基本补偿结构如图

G ( s ) = − 1 s C 1 R 1 G(s)=-\cfrac{1}{s C_1R_1} G(s)=−sC1​R1​1​

I型补偿只有一个初始极点（原点极点），提供-1斜率和90度滞后

G s = − Z f Z i = 1 s C 2 / / ( R 2 + 1 s C 2 ) R 1 = − 1 + s R 2 C 1 s R 1 ( C 1 + C 2 ) ( 1 + s R 2 [ C 1 C 2 C 1 + C 2 ] ) = − R 2 R 1 C 1 C 1 + C 2 1 + 1 / s R 2 C 1 [ 1 + s 1 / C 1 + C 2 R 2 C 1 C 2 ] = − G 0 1 + w z / s 1 + s / w p \begin{align}G_{s}&=-\cfrac{Z_f}{Z_i}=\cfrac{\cfrac{1}{sC_2}//(R_2+\cfrac{1}{sC_2})}{R_1}\\&=-\frac{1+s R_{2} C_{1}}{s R_{1}\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(1+s R_{2}\left[\cfrac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\right]\right)}\\&=-\frac{R_{2}}{R_{1}} \frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\cfrac{1+1 / s R_{2} C_{1}}{\left[1+\cfrac{s}{1/\frac{C_1+C_2}{R_2C_1C_2}}\right]}\\&=-G_{0} \frac{1+w_{z} / s}{1+s / w_{p}}\end{align} Gs​​=−Zi​Zf​​=R1​sC2​1​//(R2​+sC2​1​)​=−sR1​(C1​+C2​)(1+sR2​[C1​+C2​C1​C2​​])1+sR2​C1​​=−R1​R2​​C1​+C2​C1​​[1+1/R2​C1​C2​C1​+C2​​s​]1+1/sR2​C1​​=−G0​1+s/wp​1+wz​/s​​​

{ G 0 = R 2 R 1 C 1 C 1 + C 2 ≈ R 2 R 1 C 1 > > C 2 w z = 1 R 2 C 1 w p = 1 R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 ≈ 1 R 2 C 2 \left\{\begin{align} &G_{0}=\cfrac{R_{2}}{R_{1}} \cfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\approx \cfrac{R_2}{R_1}\qquad C_1>> C_2\\ &w_{z}=\cfrac{1}{R_{2} C_{1}} \\ &w_{p}=\cfrac{1}{R_{2} \cfrac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\approx \cfrac{1}{R_2C_2} \end{align} \right. ⎩ ⎨ ⎧​​G0​=R1​R2​​C1​+C2​C1​​≈R1​R2​​C1​>>C2​wz​=R2​C1​1​wp​=R2​C1​+C2​C1​C2​​1​≈R2​C2​1​​​

上述表明，在C1>>C2时，中频增益是R2/R1，极点是由C1和C2的串（串联容值变小，RC频率增大）与R2形成的极点，而零点是由R2和C1形成。这很好理解，由于C1>>C2，在频率较低时（1/wC2较大），C1发挥零点作用。此时的中频增益是近视为R2/R1；随着频率继续增大，R2串C1支路逐渐不变，而C2支路开始起作用，此时的极点（增益变小）是C1,C2和R2共同提供极点。同时可以知道，上式提供了一对零极点，相位（-90，90）变化，不过通常都是fp>>fz，即提供相位提升。

G s = ( 1 s C 1 + R 2 ) 1 s C 2 / ( 1 s C 1 + R 2 ) + 1 s C 2 ( 1 s C 3 + R 3 ) R 1 / ( 1 s C 3 + R 3 ) + R 1 = R 2 C 1 R 1 ( C 1 + C 2 ) 1 s R 2 C 1 + 1 1 + s R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 s C 3 ( R 1 + R 3 ) + 1 s R 3 C 3 + 1 = G 0 ( 1 + ω z 1 s ) ( 1 + s ω z 2 ) ( 1 + s ω p 1 ) ( 1 + s ω p 2 ) \begin{align}G_{s}&=\cfrac{\left(\cfrac{1}{s C_{1}}+R_{2}\right) \cfrac{1}{s C_{2}} /\left(\cfrac{1}{s C_{1}}+R_{2}\right)+\cfrac{1}{s C_{2}}}{\left(\cfrac{1}{s C_{3}}+R_{3}\right) R_{1} /\left(\cfrac{1}{s C_{3}}+R_{3}\right)+R_{1}}\\ &=\cfrac{R_{2} C_{1}}{R_{1}\left(C_{1}+C_{2}\right)} \cfrac{\cfrac{1}{s R_{2} C_{1}}+1}{1+s R_{2} \cfrac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}}} \cfrac{s C_{3}\left(R_{1}+R_{3}\right)+1}{s R_{3} C_{3}+1}\\&=G_{0} \cfrac{\left(1+\cfrac{\omega_{\mathrm{z} 1}}{s}\right)\left(1+\cfrac{s}{\omega_{\mathrm{z} 2}}\right)}{\left(1+\cfrac{s}{\omega_{\mathrm{p} 1}}\right)\left(1+\cfrac{s}{\omega_{\mathrm{p} 2}}\right)} \end{align} Gs​​=(sC3​1​+R3​)R1​/(sC3​1​+R3​)+R1​(sC1​1​+R2​)sC2​1​/(sC1​1​+R2​)+sC2​1​​=R1​(C1​+C2​)R2​C1​​1+sR2​C1​+C2​C1​C2​​sR2​C1​1​+1​sR3​C3​+1sC3​(R1​+R3​)+1​=G0​(1+ωp1​s​)(1+ωp2​s​)(1+sωz1​​)(1+ωz2​s​)​​​ 其中 G 0 = R 2 R 1 C 1 C 1 + C 2 ≈ R 2 R 1 C 1 > > C 2 w z 1 = 1 R 2 C 1 w z 2 = 1 ( R 1 + R 3 ) C 3 ≈ 1 R 1 C 3 R 1 > > R 3 w p 1 = 1 R 2 C 1 C 2 C 1 + C 2 ≈ 1 R 2 C 2 C 1 > > C 2 w p 2 = 1 R 3 C 3 \begin{array}{l} G_{0}=\cfrac{R_{2}}{R_{1}} \cfrac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}\approx \cfrac{R_2}{R_1}\qquad C_1>> C_2\\ w_{\mathrm{z1}}=\cfrac{1}{R_{2} C_{1}} \\ w_{\mathrm{z2}}=\cfrac{1}{\left(R_{1}+R_{3}\right) C_{3}}\approx \cfrac{1}{R_1C_3} \qquad R_1>>R_3\\ w_{\mathrm{p} 1}=\cfrac{1}{R_{2} \cfrac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}\approx\cfrac{1}{R_2C_2}\qquad C_1>> C_2\\ w_{p2}=\cfrac{1}{R_3C_3} \end{array} G0​=R1​R2​​C1​+C2​C1​​≈R1​R2​​C1​>>C2​wz1​=R2​C1​1​wz2​=(R1​+R3​)C3​1​≈R1​C3​1​R1​>>R3​wp1​=R2​C1​+C2​C1​C2​​1​≈R2​C2​1​C1​>>C2​wp2​=R3​C3​1​​

III补偿是在II型补偿的基础上增加一对零极点来的。由此可以知道相位最大可以提升180度。显然，一个零点是由C1提供的，一个极点是由C1串C2和R2提供的。另外一个零点是由R1串R3和C3提供的，另外一个极点是由R3和C3提供的。

G ( s ) = K p + K i s = s K p + K i s G(s)=K_p+\cfrac{K_i}{s}=\cfrac{sK_p+K_i}{s} G(s)=Kp​+sKi​​=ssKp​+Ki​​

PI补偿在模拟电路中又称为IIa型补偿，是II型补偿的一种，可以提供一个原点极点和一个零点，如果不需要配置高频极点的话，可以采用PI补偿。如图是PI补偿的电路形式

G ( s ) = 1 + s R 2 C 1 s R 1 C 1 = 1 + s w z s w p = G 0 ( 1 + w z s ) G(s)=\cfrac{1+sR_2C_1}{sR_1C_1}=\cfrac{1+\cfrac{s}{w_z}}{\cfrac{s}{w_p}}=G_0(1+\cfrac{w_z}{s}) G(s)=sR1​C1​1+sR2​C1​​=wp​s​1+wz​s​​=G0​(1+swz​​) 显然，可以得到零点、极点、中频增益(和前面一样，改写一下形式)。

IIb补偿只提供一个静态增益，在某些场合只需要比例补偿和增益衰减即可实现系统稳定，基本电路如下

G ( s ) = R 2 R 1 1 1 + s R 2 C 1 = G 0 1 1 + s w p G(s)=\cfrac{R_2}{R_1}\cfrac{1}{1+sR_2C_1}=G_0\cfrac{1}{1+\cfrac{s}{w_p}} G(s)=R1​R2​​1+sR2​C1​1​=G0​1+wp​s​1​ 显然可以得到高频增益为0，低频增益为G0,和极点。

下图表明了三种补偿结构的不同，低频时，IIa和II型都以-1衰减，而IIb不衰减；中频时，IIa和II转为斜率为0，IIb斜率为-1，高频时，II，IIb都以-1，IIa保持0斜率。

PID的基本电路形式如下，其表达式为 G ( s ) = K d s + K p + K i s = K i s 2 + K p s + K i s G(s)=K_ds+K_p+\cfrac{K_i}{s}=\cfrac{K_is^2+K_ps+K_i}{s} G(s)=Kd​s+Kp​+sKi​​=sKi​s2+Kp​s+Ki​​ 其基本模拟电路图如图，表达式为

G ( s ) = ( 1 + R 1 C 3 s ) ( 1 + C 1 R 2 s ) C 1 R 1 s = ( s + 1 C 3 R 1 ) ( s + 1 C 1 R 2 ) s C 3 R 2 G(s)=\cfrac{(1+R_1C_3s)(1+C_1R_2s)}{C_1R_1s}=\cfrac{(s+\cfrac{1}{C_3R_1})(s+\cfrac{1}{C_1R_2})}{\cfrac{s}{C_3R_2}} G(s)=C1​R1​s(1+R1​C3​s)(1+C1​R2​s)​=C3​R2​s​(s+C3​R1​1​)(s+C1​R2​1​)​

III型补偿比PID补偿多了一个极点，同样这很好理解，分低频段、中频段和高频段去分析。由这也可以看出，PI和II型补偿不同，PID和III型补偿不同。