拉普拉斯变换在电路中的分析

对于电路，传统所应用的方法是根据电路定律和元件的电压、电流关系建立的描述电路的方程，建立的方程式以时间为自变量的线性常微分方程，然后对常微分方程求解，即可得电路变量在时域的解答。

但是对于多个动态元件的复杂电路，直接求解微分方程是比较困难的。因此产生了拉普拉斯积分变换法求解电路。拉普拉斯积分变换法，通过拉普拉斯积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。这样，就很容易求出代数方程的频域解函数。然后再通过拉普拉斯反变换，返回时域，求出满足电路的原微分方程的解。

                                                  一、拉普拉斯变换

1、 拉普拉斯变换定义

一个定义在[[0，无穷]区间的函数f(t)，他的拉普拉斯变换式F（s）定义为

式中 为复数，F（s）称为f（t）的象函数，f（t）成为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉式变换。

拉式变换是把一个时间域的函数f（t）变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称为复频域。

如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数f（t），由F(s)到f（t）的变换称为拉普拉斯反变换。

拉普拉斯反变换，可以将s域内的复变函数F（s）转换为时间域的函数f（t）。

2、 拉普拉斯重要性质

1.1微分性质

如果函数f（t）的像函数其对应的拉普拉式变换式为F(s)。

那么对函数f（t）的求导，d（f（t））/dt 对应的拉普拉斯变换式为sF（s）。因为就将时域的微分转变成为了频域的代数表达式。

1.2 卷积性质

时域上，对两个时间函数f1（t）和f2（t），进行卷积，那么卷积定义式为：

y（t）= f1（t）*f2（t）=

但是，如果f1（t）和f2（t）其对应的拉普拉斯变换为F1(s)和F2(s)，那么y(t)对应的拉普拉斯变换：

                          Y(s) = F1(s)F2(s);

这样，时域的复杂卷积运算就转换为时域上的乘法运算。

                                                  二、拉普拉斯在电路中的分析

1、 传统动态电路的分析方法

对于动态电路，传统的分析方法是利用电感，电容的电压电流的微分或积分关系，然后再根据电路的KCL定律和KVL定律建立描述电路的方程，建立的方程式以时间为自变量的线性常微分方程，然后再对微分方程求解，获得电路的输出响应。

例如，对如下电路：

求得Vout对Vin的关系，首先得建立电路的微分方程：

解这微分方程，求得电容电压u表达式，然后再根据电感的电压电流关系，计算出电路电流i的表达式，最后在根据电阻的电压与电流关系，求出Vout的表达式。

2、 拉普拉斯变换法的电路分析方法

传统的对动态电路的分析方法是建立微分方程，然后进行求解。但是可以看出，高阶的微分方程的解是比较难困难解出来的。但是采用拉普拉斯变换的话，就将微分方程变换为代数方程。因为拉普拉斯有个很重要的微分性质。时域的微分，在频域中只是乘以一个系数。

对于上面建立的微分方程，设u的拉普拉斯变换为U（s）。输入vin的拉普拉斯变换为VIN(s)。

那么上述微分方程变为：

                               LCs2 U（s）+ RCsU（s） + U（s） = sVIN(s)

这样，就简单的将时域的微分方程，转换为频域的代数方程，从而就很容易得出U（s）的值，然后再拉普拉斯反变换，即可得出对应的时域函数。这样，比解微分方程就简单多了。

对于电路有动态元件时，这时候，用拉普拉斯变换法分析，电路的元件用阻抗来表示。如

因为对于动态元件电路，可以将电容，电感，电阻看成阻抗分别为1/sC ,sL ，R的电阻器件。然后再根据欧姆定律以及电路的KCL,KVL定律建立电路的拉普拉斯方程。

如下电路：

电容阻抗为1/s，电感阻抗为s，电阻阻抗为1。那么电路总阻抗为Z=1/s+s+1。利用欧姆定律U=RI。

电路电流I(s) = VIN(s) / Z。然后再根据电阻分压原理，可得出

VOUT（s） = 1/z * I（s）

即可得出输出电压的s域的表达式。然后再根据拉普拉斯变换，即可得出vout的时域表达式了。

所以，可见，拉普拉斯变换分析方法使得分析动态电路非常容易，只需建立s域代数方程，然后将输入进行拉普拉斯变换，带入s域代数方程，解出所求输出的拉普拉斯表达式，然后再进行拉普拉斯反变换，即可求出输出的时域表达式。

                                              三、拉普拉斯在频率分析中的作用

1、 电路的频率响应

电路中，由于存在电容，电感动态元件，所以会使得电路对不同频率的输入信号产生的输出响应是不一样的。因此就需要特定的方法来分析电路的频率响应。

2、拉普拉斯变换法的频率响应分析

由于拉普拉斯变换是将时域信号转换为频域信号，所以拉普拉斯变换在频率响应分析中是最常用的方法。

如下图所示：

对于上图，如何简单的分析电路的频率响应。考虑用拉普拉斯变换。

利用s域的代数方程，可以求出：

那么从输出的s域表达式，就可以看出，电路是一个低通滤波器。其截止角频率为1/RC。这样，就简单的对电路进行了频率响应分析。而不需要对电路进行复杂的分析。

                                                                 四、总结

传统的动态电路的分析，是对电路建立微分方程，然后求解微分方程，从而得出输出的时域解。这种分析方法，对于低阶电路比较适用。因为低阶的微分方程求解相对比较容易，但是对于高阶电路，求解就很困难了。

而采用拉普拉斯变换方法，将电路的微分方程转换成了代数方程，不管微分方程的阶数有多高，转换的代数方程是很容易求解的。因此用拉普拉斯变换法很容易对电路进行求解。

由于拉普拉斯是将时域函数转换为频域函数，因此利用拉普拉斯方法对电路进行频率分析也是很容易的。只需建立s域代数方程，然后求出输出的拉普拉斯表达式，即可从表达式很简单的计算出电路的频率响应。