以斐波那契数列为例分析递归算法的时间复杂度和空间复杂度

2023-10-15 08:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

首先来波概念：

递归算法的时间复杂度：递归的总次数*每次递归的数量。

递归算法的空间复杂度：递归的深度*每次递归创建变量的个数。

那什么是斐波那契额数列呢？对于菲波那切数列有典型的生兔子的的问题，在这我就不多说了，感兴趣的同学可以自行查找资料来了解，简单的说，菲波那切数列数列就是前两项是1，后面的每项是其前两项之和。比如：1 1 2 3 5 8 13....

下边我们来分别用不同的方法来求一下斐波那契。

（1）首先采用递归的方法来求一下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include int Fib(int n){if (n < 3) { return 1; }else{ return Fib(n - 1) + Fib(n - 2); }}int main() {int n = 50;int ret = Fib(n);printf("%d\n", ret);getchar(); }

在递归调用过程中Fib(3)被计算了2次，Fib(2)被计算了3次。Fib(1)被调用了5次，Fib(0)中被调用了3次。所以，递归的效率低下，但优点是代码简单，容易理解。

递归算法时间复杂度为(二叉树的节点个数）：O()=(2^h)-1=2^n。空间复杂度为树的高度：h即o(n).

（2）可用尾递归方法来求，尾递归若优化，空间复杂度可达到o(1)，但时间复杂度是o(n);

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include long Fib(long first, long second, long n){ if (n < 3) return 1; if (3 == n) { return first + second; } return Fib(second, first + second, n - 1); } int main() { int n = 5; int ret = Fib(1,1,5); printf("%d\n", ret); getchar(); }

(3) 采用循环结构实现。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include long Fib(long first, long second, long n){ int third = 0; if (n < 3) return 1; while (n >3){ int temp = second; second = first + second; first = temp; n--; } third = first + second; return third; } int main() { int n = 6; int ret = Fib(1,1,n); printf("%d\n", ret); getchar(); }

此时时间复杂度达到了o(n),空间复杂度达到了o(1).

所以综上所述，求菲波那切数列最好使用循环的方式。

最后来科普一下，常用时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是o(1）

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