一文搞懂积分不等式证明(积分证明题总结笔记3/3)

等式证明（点击进入） 由积分判断函数零点个数（点击进入） 不等式证明（本文内容）

从市面上常见题册中总结了证明积分不等式的七种常见的方法。汇总如下： 下面主要围绕这七种方法进行最全面的讲解，让同学们全方位搞懂这几个方法。

使用场景： 题目中有单调字眼，或者有 f ′ ( x ) ＞ 0 f'(x) ＞0 f′(x)＞0（或 ＜ 0 ＜0 ＜0）时考虑使用

解题步骤： a.将所证不等式进行移项，并设其中一个字母为 x ，进而构造函数。(注意 x 的范围) b.将构造的函数进行求导，得到其单调性。(其中有可能会用到中值定理) c.求解出 x 处于某一范围时，函数的最值，最后变形即证明完成。

例题讲解： 以下面例题为例详细讲解该方法： 设函数时一定要注意函数的定义域。这两道题都是设b为x(当然，如果你想设a为x也是可以的)，所以由 b ≥ a b\geq a b≥a 得 x ≥ a x\geq a x≥a 。

使用场景： 证明式子中有两函数相乘的积分，且这两个函数在积分区域都是单调时，考虑用该方法。

解题步骤： 设所证明的不等式中含有 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx ∫ab​f(x)g(x)dx a.构造式子： [ f ( x ) − f ( y ) ] [ g ( x ) − g ( y ) ] [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] [f(x)−f(y)][g(x)−g(y)] (利用单调性判断这个式子和0之间的大小关系) b.积分：在区域 D = { ( x , y ) ∣ a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b } D=\left\{ (x,y)|a\leq x\leq b, a\leq y \leq b\right\} D={(x,y)∣a≤x≤b,a≤y≤b} 上积分 c.化简得证

例题讲解： 用下面例题详细讲解该方法：

使用场景： 题目条件中有 f ( x ) , f ′ ′ ( x ) f(x),f''(x) f(x),f′′(x) 与0之间的关系。并且所证式子中有 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫ab​f(x)dx ，考虑使用。 这里其实还有一个隐藏要求：小题！因为大题用图像判断没法写过程。

解题步骤： a.画出对应式子所表示的面积 b.比较面积大小，并判断对应式子的大小，继而得证

例题讲解： 用下面例题详细讲解该方法： 该类型题目最有难度的就是如何表达式子所代表的面积。这需要大家的积累： 例如：看到两个函数值相加再乘某个东西，就要想到会不会是某梯形的面积。

使用场景： 不等式有 ∫ a b u ( k ) v d x \int_{a}^{b}u^{(k)}vdx ∫ab​u(k)vdx 和 M ∫ a b u d x M\int_{a}^{b}udx M∫ab​udx ，其中： max ⁡ [ a , b ] ∣ v ( k ) ∣ = M \max_{[a,b]}{|v^{(k)}|}=M max[a,b]​∣v(k)∣=M ，考虑使用。 注：常见的 u ( k ) = 1 u^{(k)}=1 u(k)=1 ，并且有时题目会将 ∫ a b u d x \int_{a}^{b}udx ∫ab​udx 算出结果，进而 M ∫ a b u d x M\int_{a}^{b}udx M∫ab​udx 转变为一个常数乘以 M 。

解题步骤： a.分部积分，次数由证明式子决定 b.利用不等式： ∣ ∫ a b Δ d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ Δ ∣ d x |\int_{a}^{b} \Delta dx| \leq \int_{a}^{b}| \Delta |dx ∣∫ab​Δdx∣≤∫ab​∣Δ∣dx 放缩 c.化简得证

例题讲解： 以下面例题为例详细讲解该方法： 分部积分的功效其实和泰勒展开类似，建立起函数和若干阶导数之间的关系。在本题中就是建立起 f , f ′ , f ′ ′ f,f',f'' f,f′,f′′ 之间的关系（这也决定了要用两次分部积分）。然后利用不等式将 f ′ ′ f'' f′′ 和所给的最大值建立联系，最终解决本题。 同时，本题就是对应前面所说的，将 ∫ a b u d x \int_{a}^{b}udx ∫ab​udx 算出结果，进而转变为一个常数乘以 M 。

使用场景： 积分不等式中函数的最高阶导数在积分内部时考虑使用 例如：不等式中含有 f , f ′ , f ′ ′ f,f',f'' f,f′,f′′ ，其中最高阶导数是 f ′ ′ f'' f′′ 。因此当这个不等式中有形如 ∫ a b f ′ ′ ( x ) d x \int_{a}^{b}f''(x)dx ∫ab​f′′(x)dx 或者 ∫ a b ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ d x \int_{a}^{b}|f''(x)|dx ∫ab​∣f′′(x)∣dx 时，可以考虑使用。

例题讲解 本题所证明不等式中含有 f f f 和 f ′ f' f′ ,最高阶导数为 f ′ f' f′ 。而其在积分内部: ∫ a b ∣ f ′ ( x ) ∣ d x \int_{a}^{b}|f'(x)|dx ∫ab​∣f′(x)∣dx ，所以考虑使用牛顿-莱布尼茨解决。

使用场景： 含有某函数平方积分时考虑使用。 公式为： ∫ a b f 2 ( x ) d x ∫ a b g 2 ( x ) d x ≥ [ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ] 2 \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx\ge[\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx]^{2} ∫ab​f2(x)dx∫ab​g2(x)dx≥[∫ab​f(x)g(x)dx]2

例题讲解： 柯西不等式的功效说白了就是去除积分号里面的平方。对于本题而言就是把 ∫ 0 1 f ′ 2 ( x ) d x \int_{0}^{1}f'^{2}(x)dx ∫01​f′2(x)dx 里面的平方去除，然后建立起 ∫ 0 1 f ′ ( x ) d x \int_{0}^{1}f'(x)dx ∫01​f′(x)dx 和条件 f ( 1 ) − f ( 0 ) f(1)-f(0) f(1)−f(0) 之间的关系，如何建立？牛顿-莱布尼茨公式为你效劳。 从这两题中我们可以发现两个特点： 1.都是设柯西不等式中的 g ( x ) = 1 g(x)=1 g(x)=1，这也是常见的设法。 2.都用了牛顿-莱布尼茨公式。 细细观察这两题，都满足：积分不等式中函数的最高阶导数在积分内部。所以都使用了牛顿-莱布尼茨公式也不意外。

使用场景： 题目中含有 m a x { ∣ Δ ∣ } max\left\{ |\Delta| \right\} max{∣Δ∣}，或者题目中含有二阶导时，可以尝试使用。 拉格朗日由于可以看成是泰勒展开的特殊形式( n = 0 n=0 n=0)，因此也被归为此种方法。

泰勒展开方法总结： 用泰勒展开证明积分不等式的方法多种多样，所以我在这里总结几种练习册上常用的，如下： 当然做题仅靠这些是不够的，还需记住以下几个常见不等式： 例题讲解： 泰勒展开类型1： 在区域中点展开有个好处，即积分之后可以去除与所证明不等式无关的 f ′ f' f′ 。

泰勒展开类型2： 已知两个端点的值，证明积分和一阶导最大值之间的关系。 证明流程：在区间端点处展开 → \rightarrow → 分段积分合并 → \rightarrow →利用不等式得结果 这种类型的题目在练习册中见的还蛮多的，所以可以将其进行拓展，如下图： 本题就是对上面那个进行了拓展（其中 a = 0 , b = 1 a=0,b=1 a=0,b=1 就变成了上面那道题）

泰勒展开类型3： 本类题可以通过设变限积分为某个函数，去除不等式中的积分号，从而使积分不等式转变为普通的不等式，此时再按照泰勒展开证明不等式的套路来即可。 泰勒展开类型4： 本题所证不等式中最高阶导数（ f ′ ′ f'' f′′ ）在积分内部，因此考虑使用牛顿-莱布尼茨。尝试之后发现直接使用不行。但是，我们可以利用最开始讲的常见不等式的第三条进行解决。

到此结束~ 我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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