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环形染色问题（CSP初赛数学）

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环形染色问题（CSP初赛数学）

2024-07-09 15:16| 来源: 网络整理| 查看: 265

本文转载自知乎环形染色问题

原作者：知乎雨浥星辰

本文改动：将原文中的公式图片使用LaTeX重制

如图所示，一个圆环被分成 $m (m \geq 2)$ 块，用 $n(n \geq 2)$ 种不同颜色给每一块染色，要求相邻两块的颜色不相同。此类问题称之为环形染色问题。

环形染色问题可以分为两种，一类是圆环中心区域要染色，一类是圆环中心区域不染色。中心区域染色问题在给中心涂色之后，剩余部分即为中心区域不染色的问题，本文重点讲解中心区域不染色问题。

本文先针对m=4、m=5以分类与分步的做法解决，而后给出此类问题的通解。

n=4，m=4,中心区域不染色

如图，环形区域被分成4块，用4种不同的颜色给这4块区域染色，要求相邻区域颜色不同。

解：

我们先给四块区域标注为A、B、C、D。先给A染色，则有4种颜色，而后B有三种，C也是有三种，但是D则需要分类来讨论。因为D与A、C都相邻，且A、C都已经涂好颜色，则A、C若同色，则D有三种颜色可选，A、C不同色，则D只有两种颜色可以选择，如下图所示

则共有 $4\times3\times(1\times3$+$2\times2)=84$ 种染色方式；

m=5，n=4,中心区域不染色

如图，环形区域被分成5块，用4种不同的颜色给这5块区域染色，要求相邻区域颜色不同。

解：

同上，给五块区域标注为A、B、C、D、E。依旧是按顺序给5块区域染色。则在考虑A、D同色问题时，需考虑到AC是否同色。若A、C同色，则则A、D必定不同色。只有A、C不同色，才有可能出现A、D同色。

因此有以下分类：

1.AC同色：则A、D必定不同色，则五块区域依次有4、3、1、3、2种涂法，共有 $4\times3\times1\times3\times2=72$ 种染色方式。

2.AC不同色：

(1) A、D同色：则五块区域依次有4、3、2、1、3种涂法，共有 $4\times3\times2\times1\times3=72$ 种染色方式。

(2)A、D不同色，则五块区域一次有4、3、2、2、2种涂法，共有 $4\times3\times2\times2\times2=96$ 种染色方式。

合计共有72+72+96=240种染色方式。

任意 m≥2、n≥2

记当有m块区域时，染色方法有 $a_{m}$ 种；则当m取1、2、3、4、……时，分别有 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ ……种染色方式。

首先考虑直线型染色：如下图所示，有m块区域，n种颜色，要求相邻区域不同色。

则除了第一块有n种涂法，其余各块都是n-1种。则共有 $n(n-1)^{m-1}$ 种染色方式。

现在把直线型的两端对接，拼成一个环形。

当两端颜色相同时，首尾对接则会出现有两块相邻区域颜色相同。其余相邻区域颜色则均不同。此时若把相邻颜色相同的区域合并为一个区域，则此时的环形有m-1块区域，任意相邻区域颜色均不相同，对应 $a_{m-1}$ 种染色方式

当两端颜色不同时，首尾对接，则任意相邻区域颜色均不相同，此时的环形有m块区域，对应 $a_{m}$ 种染色方式。

因此有 $a_{m}+a_{m-1}=n(n-1)^{m-1}$ ——①

由此公式，对于没有学习过数列的同学，可以求出 $a_{3}$ 之后，依次递推求出所需

而对于学过数列的同学，我们可以求出 $a_{m}$ 的通项公式。

对①式稍作变形，有 $a_{m}+a_{m-1}=(n-1)(n-1)^{m-1}+(n-1)^{m-1}=(n-1)^{m}+(n-1)^{m-1}$

移项可得： $a_{m}-(n-1)^{m}=-(a_{m-1}-(n-1)^{m-1})$

(1) $a_{m}-(n-1)^{m}=0$

即 $a_{m}=(n-1)^{m}$ ，考虑 $a_{2}=n(n-1)$ ，与之矛盾，故不合题意，舍去；

(2) $a_{m}-(n-1)^m\neq 0$

令 $b_{m}=a_{m}-(n-1)^m$ ，则有 $\frac{b_{m}}{b_{m-1}}=-1$ ，为等比数列

则 $b_{m}=(-1)^{m-2}\cdot b_{2}=(-1)^{m}\cdot b_{2}$

代入 $b_{2}=a_{2}-(n-1)^{2}=n(n-1)-(n-1)^{2}=n-1$

有 $b_{m}=(-1)^{m} \cdot b_{2}=(-1)^{m} \cdot (n-1)$

代入 $b_{m}=a_{m}-(n-1)^{m}$

有 $a_{m}=(n-1)^{m}+(-1)^{m} \cdot (n-1)$

验证时刻：

1：代入m=4，n=4，有 $3^{4}+3=84$

2：代入m=5，n=4，有 $3^{5}-3=240$

中心区域染色

圆环有m块区域，再加上中心区域共有m+1块区域；有n+1种颜色

由于中心区域与外环所有区域均相邻，则先涂中心区域，有n+1种涂色方法；

此时余下m块区域与n种颜色，即为中心不染色时m块区域和n种颜色的环形染色问题，代入上述公式，

共有 $a_{m}=(n-1)^{m}+(-1)^{m} \cdot (n-1)$ 种。

合计共有 $(n+1) \times a_{m}=(n+1) \times[(n-1)^{m}+(-1)^{m} \cdot (n-1)]$ 种染色方法。

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