多旋翼飞行器螺旋桨动力学模型

坐标系分为多旋翼机体重心坐标系 o b − x b y b z b o_b-x_by_bz_b ob​−xb​yb​zb​及螺旋桨坐标系 o p − x p y p z p o_p-x_py_pz_p op​−xp​yp​zp​，右手系， z z z轴向下，其中 o b o_b ob​至 o p o_p op​的距离向量为 r ⃗ \vec{r} r ，机体系到螺旋桨系的旋转矩阵为 R b p R_b^p Rbp​(由螺旋桨安装姿态角确定)。

螺旋桨几何位置：

螺旋桨拉力在螺旋桨坐标轴下记为 F f b ⃗ = [ F x p F y p F z p ] \vec{F_{fb}} = \left[ \begin{matrix}F_{xp}\\F_{yp}\\F_{zp}\end{matrix} \right] Ffb​ ​=⎣⎡​Fxp​Fyp​Fzp​​⎦⎤​ 考虑常规螺旋桨，拉力方向垂直于旋转平面，即只有 z z z轴拉力不为零，其他两轴的拉力为零。

体轴下螺旋桨拉力为: F f b ⃗ = ( R b p ) − 1 ⋅ F f b ⃗ = ( R b p ) − 1 ⋅ [ F x f p F y f p F z f p ] \vec{F_{fb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \vec{F_{fb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] Ffb​ ​=(Rbp​)−1⋅Ffb​ ​=(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​

考虑螺旋桨安装位置，螺旋桨对机体产生的力矩为： M f b ⃗ = r ⃗ × F f b ⃗ = r ⃗ × ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ F x f p F y f p F z f p ] ) \vec{M_{fb}} = \vec{r} \times \vec{F_{fb}} = \vec{r} \times \left((R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right]\right) Mfb​ ​=r ×Ffb​ ​=r ×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​⎠⎞​ 考虑螺旋桨安装位置常规与重心处于同一平面，结合图示中螺旋桨位置，位置矢量可写为: r ⃗ = [ l ⋅ c o s ( θ ) l ⋅ s i n ( θ ) 0 ] \vec{r} = \left[ \begin{matrix} l \cdot cos(\theta)\\ l \cdot sin(\theta)\\ 0 \end{matrix} \right] r =⎣⎡​l⋅cos(θ)l⋅sin(θ)0​⎦⎤​

螺旋桨反扭力矩在螺旋桨坐标轴下记为 M m p ⃗ = [ M x m p M y m p M z m p ] \vec{M_{mp}} = \left[ \begin{matrix}M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp}\end{matrix} \right] Mmp​ ​=⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​ 考虑常规螺旋桨，反扭力矩方向垂直于旋转平面，即只有 z z z轴反扭力矩不为零，其他两轴的反扭力矩为零。

体轴下螺旋桨反扭力矩为 M m b ⃗ = ( R b p ) − 1 ⋅ M m p ⃗ = ( R b p ) − 1 ⋅ [ M x m p M y m p M z m p ] \vec{M_{mb}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \vec{M_{mp}} = (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp} \end{matrix} \right] Mmb​ ​=(Rbp​)−1⋅Mmp​ ​=(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​

螺旋桨作为旋转部件，在其旋转过程中由于随飞行器姿态变动，其转轴方向会发生变动，因此会引起陀螺力矩作用于机体。

当螺旋桨以角速度 ω p ⃗ \vec{\omega_p} ωp​ ​（螺旋桨坐标系）绕旋转轴旋转时，飞行器姿态变化引起螺旋桨转轴方向发生变动，变化为角速率 Ω ⃗ \vec{\Omega} Ω ，则由赖柴耳定理及陀螺的近似理论知，此时作用于螺旋桨的外力矩 M 0 ⃗ = Ω ⃗ × I ω ⃗ = Ω ⃗ × H ⃗ \vec{M_0} = \vec{\Omega} \times I\vec{\omega} = \vec{\Omega} \times \vec{H} M0​ ​=Ω ×Iω =Ω ×H ， 而陀螺力矩 M G ⃗ = − M 0 ⃗ = I ω ⃗ × Ω ⃗ = H ⃗ × Ω ⃗ \vec{M_G} = -\vec{M_0} = I\vec{\omega} \times \vec{\Omega} = \vec{H} \times \vec{\Omega} MG​ ​=−M0​ ​=Iω ×Ω =H ×Ω 。式中 I I I是螺旋桨对自转轴轴的转动惯量， H ⃗ \vec{H} H 是螺旋桨的角动量。（参考百度百科陀螺力矩词条） 注意：上述公式中各向量应为同一坐标系下的向量。 考虑体轴角速率为 [ p   q   r ] ′ [p\ q\ r]' [p q r]′，则可分别写出螺旋桨轴下螺旋桨陀螺力矩和机体轴下陀螺力矩如下：

螺旋桨轴 M g p ⃗ = H p ⃗ × Ω p ⃗ = [ H x p H y p H z p ] × ( R b p ⋅ [ p q r ] ) \vec{M_{gp}} = \vec{H_p} \times \vec{\Omega_p} =\left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \times \left( R_b^p \cdot \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \right) Mgp​ ​=Hp​ ​×Ωp​ ​=⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​×⎝⎛​Rbp​⋅⎣⎡​pqr​⎦⎤​⎠⎞​

机体轴 M g b ⃗ = H b ⃗ × Ω b ⃗ = [ H x b H y b H z b ] × [ p q r ] = ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ H x p H y p H z p ] ) × [ p q r ] \vec{M_{gb}} = \vec{H_b} \times \vec{\Omega_b} =\left[ \begin{matrix} H_{xb}\\H_{yb}\\H_{zb} \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] = \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] Mgb​ ​=Hb​ ​×Ωb​ ​=⎣⎡​Hxb​Hyb​Hzb​​⎦⎤​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​=⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​ 考虑常规螺旋桨，旋转轴与螺旋桨 z z z轴重合，即只有 z z z轴角动量不为零，其他两轴的角动量为零。

综合上述力、力矩方程，可写出螺旋桨动力学方程如下： [ F b ⃗ M b ⃗ ] = [ F f b ⃗ M f b ⃗ + M m b ⃗ + M g b ⃗ ] = [ ( R b p ) − 1 ⋅ [ F x f p F y f p F z f p ] r ⃗ × ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ F x f p F y f p F z f p ] ) + ( R b p ) − 1 ⋅ [ M x m p M y m p M z m p ] + ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ H x p H y p H z p ] ) × [ p q r ] ] \begin{aligned} \left[ \begin{matrix} \vec{F_b} \\ \vec{M_b} \end{matrix} \right] =& \left[ \begin{matrix} \vec{F_{fb}} \\ \vec{M_{fb}} + \vec{M_{mb}} + \vec{M_{gb}} \end{matrix} \right] \\ =& \left[ \begin{matrix} (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] \\ \vec{r} \times \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} F_{xfp}\\F_{yfp}\\F_{zfp} \end{matrix} \right] \right) + (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} M_{xmp}\\M_{ymp}\\M_{zmp} \end{matrix} \right] + \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} H_{xp}\\H_{yp}\\H_{zp} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] \end{aligned} [Fb​ ​Mb​ ​​]==​[Ffb​ ​Mfb​ ​+Mmb​ ​+Mgb​ ​​]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​r ×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Fxfp​Fyfp​Fzfp​​⎦⎤​⎠⎞​+(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Mxmp​Mymp​Mzmp​​⎦⎤​+⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​Hxp​Hyp​Hzp​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

考虑常规螺旋桨，以图示螺旋桨为例，螺旋桨顺时针旋转，螺旋桨拉力为 F F F，反扭力矩为 M M M，Z轴转动惯量为 I z z I_{zz} Izz​，螺旋桨转速为 ω \omega ω，位置矢量为 [ l c o s ( θ )   l s i n ( θ )   0 ] ′ [lcos(\theta)\ lsin(\theta)\ 0]' [lcos(θ) lsin(θ) 0]′，上述各量均为标量，螺旋桨动力学方程可简化为： [ F b ⃗ M b ⃗ ] = [ ( R b p ) − 1 ⋅ [ 0 0 − F ] [ l c o s ( θ ) l s i n ( θ ) 0 ] × ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ 0 0 − F ] ) + ( R b p ) − 1 ⋅ [ 0 0 − M ] + ( ( R b p ) − 1 ⋅ [ 0 0 ω I z z ] ) × [ p q r ] ] \begin{aligned} \left[ \begin{matrix} \vec{F_b} \\ \vec{M_b} \end{matrix} \right] =& \left[ \begin{matrix} (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-F \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} lcos(\theta)\\ lsin(\theta)\\ 0 \end{matrix} \right] \times \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-F \end{matrix} \right] \right) + (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\-M \end{matrix} \right] + \left( (R_b^p)^{-1} \cdot \left[ \begin{matrix} 0\\0\\\omega I_{zz} \end{matrix} \right] \right) \times \left[ \begin{matrix} p\\q\\r \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] \end{aligned} [Fb​ ​Mb​ ​​]=​⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−F​⎦⎤​⎣⎡​lcos(θ)lsin(θ)0​⎦⎤​×⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−F​⎦⎤​⎠⎞​+(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00−M​⎦⎤​+⎝⎛​(Rbp​)−1⋅⎣⎡​00ωIzz​​⎦⎤​⎠⎞​×⎣⎡​pqr​⎦⎤​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

PS1:螺旋桨顺时针旋转，在机体坐标系下， z z z轴反扭力矩为负， z z z轴角动量为正。

PS2:上述公式中“ × \times ×”运算符代表求向量积，对于向量 A ， B A，B A，B及其向量积 C C C，运算关系如下： A =   a 1 i ⃗ + a 2 j ⃗ + a 3 k ⃗ B =   b 1 i ⃗ + b 2 j ⃗ + b 3 k ⃗ C =   A × B =   ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ =   ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i ⃗ + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j ⃗ + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k ⃗ \begin{aligned} A =&\ a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k}\\ B =&\ b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}\\ C =&\ A \times B =\ \left| \begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{matrix} \right|\\ =&\ (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k} \end{aligned} A=B=C==​ a1​i +a2​j ​+a3​k  b1​i +b2​j ​+b3​k  A×B= ∣∣∣∣∣∣​i a1​b1​​j ​a2​b2​​k a3​b3​​∣∣∣∣∣∣​ (a2​b3​−a3​b2​)i +(a3​b1​−a1​b3​)j ​+(a1​b2​−a2​b1​)k ​ (参考matlab向量积定义)