深入会用

✅ 这一部分比较难，做了一点笔记。

● 我们用的教材：

答案：B，可能还存在传递依赖，即不一定是 3NF。

答案：C，若存在传递依赖，即不是 3NF。满足 2NF 的规矩：每一个非主属性完全依赖任何一个候选码。故是 2NF。

答案：A。满足 3NF 的规矩：每一个非主属性即不传递依赖于码，也不部分依赖于码。 非主属性都没有，显然满足 3NF。

答案：A。满足 BCNF 的规矩：每一个决定因素(比如，X → Y，则 X 是决定因素)都包含码。因为它的主码是全码，若存在 “X → Y” 这样的函数依赖，那 X 显然包含码，满足 BCNF 的规矩。

答案：B。由书上定义 6.1 和其定义下面 “注意” 的可知，函数依赖指的是关系模式 R 的所有关系均要满足的约束条件。

● 一些关键定义如下，知道有这些名词即可，在做题时回头来看：

● 函数依赖： 设 R(U) 是一个属性集 U 上的关系模式，X 和 Y 是 U 的子集。若对于 R(U) 的任意一个可能的关系 r，r 中不可能存在两个元组在 X 上的属性值相等， 而在 Y 上的属性值不等则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作 X→Y。X称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素(Determinant)。

● 逻辑蕴含(也可简称为蕴含)： 对于满足一组函数依赖 F 的关系模式 R，其任何一个关系 r，若函数依赖 X→Y 都成立（即 r 中任意两元组 t，s，若 t[X]=s[X]，则 t[Y] = s[Y]），则称 F 逻辑蕴含 X→Y。

● Armstrong公理系统： 设 U 为属性集总体，F是 U 上的一组函数依赖， 于是有关系模式 R。对 R 来说有以下的推理规则：

 ① 自反律(Reflexivity)：若 Y ⊆ X ⊆ U，则 X →Y 为 F 所蕴含。  ② 增广律(Augmentation)：若 X→Y 为 F 所蕴含，且 Z ⊆ U，则 XZ→YZ 为 F 所蕴含。  ③ 传递律(Transitivity)：若 X→Y 及 Y→Z 为 F 所蕴含，则 X→Z 为 F 所蕴含。

● 闭包 F + F^+ F+： 在关系模式 R 中为 F 所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F 的闭包(closure)，记为 F + F^+ F+。

● X关于函数依赖集 F 的闭包 X F + X_{F^+} XF+​： 设F为属性集 U 上的一组函数依赖，X ⊆ U， X F + X_{F^+} XF+​ ={ A | X→A 能由 F 根据 Armstrong 公理导出}， X F + X_{F^+} XF+​ 称为属性集 X 关于函数依赖集 F 的闭包。

● 对 闭包 F + F^+ F+： 的理解：

● 关于闭包的引理(引理：为证明某个定理或解某个问题所要用到的命题。引理和定理没有严格的区分)： 设 F 为属性集 U 上的一组函数依赖，X，Y ⊆ U，X→Y 能由 F 根据 Armstrong 公理导出的充分必要条件是 Y⊆ X F + X_{F^+} XF+​。

● 该引理的用途：  ① 将判定 X→Y 是否能由 F 根据 Armstrong 公理导出的问题，就转化为求出 X F + X_{F^+} XF+​，判定 Y 是否为 X F + X_{F^+} XF+​ 的子集的问题。  ② 如果 X F + X_{F^+} XF+​ = U，X 是 R 的候选码。【参考样例2】

● X F + X_{F^+} XF+​ 可以用以下算法来求得： 【求属性集 X(X⊆U) 关于 U 上的函数依赖集 F 的闭包 X F + X_{F^+} XF+​】  ① 令 X ( i ) X^{(i)} X(i)=X，i=0；  ② 对 F 中的每一个函数依赖 Y→Z，若 Y⊆X(i)，令 X ( i + 1 ) X^{(i+1)} X(i+1)= X ( i ) X^{(i)} X(i)∪Z。  ③ 若 X ( i + 1 ) X^{(i+1)} X(i+1)≠ X ( i ) X^{(i)} X(i)，则用 i+1 代替 i，转②；  ④ 若 X ( i + 1 ) X^{(i+1)} X(i+1)= X ( i ) X^{(i)} X(i)，则 X ( i ) X^{(i)} X(i) 即为 X。

● 样例1：

● 求给定关系模式的码的经验方法： ⭐️ ⭐️  ① 若属性 A 仅出现在所有函数依赖的右部，则它一定不包含在任何候选码中；  ② 若属性 A 仅出现在所有函数依赖的左部，则它一定包含在某个候选码中；  ③ 若属性 A 既出现在函数依赖的右部，又出现在左部，则它可能包含在候选码中；  ④ 在上述基础上求属性闭包。

● 样例2：

● 最小依赖集(也称为极小函数依赖集、最小覆盖)： 如果函数依赖集 F 满足下列条件，则称F为一个最小依赖集：  ① F 中任一函数依赖的右部仅含有一个属性。  ② F 中不存在这样的函数依赖 X→A，使得 F 与 F-{X→A} 等价。【解释：即 F 中的函数依赖均不能由 F 中其他函数依赖导出】  ③ F 中不存在这样的函数依赖 X→A，X 有真子集 Z 使得 F-{X→A}∪{Z→A} 与 F 等价。【解释：F中各函数依赖左部均为最小属性集(不存在冗余属性)】

● 关于 “最小依赖集” 的解法步骤：  1.将 F 中的所有函数依赖的右边化为单一属性。  2.去掉 F 中的所有函数依赖左边的冗余属性。  3.去掉 F 中所有冗余的函数依赖。

● 样例3： 设 R，U=ABCD, 函数依赖集 F = {A→BD，AB→C，C→D}。求：F的最小函数依赖集

(1) 将 F 中的所有函数依赖右边化为单一属性 F = {A→BD, AB→C, C→D} ⇒ F = {A→B, A→D, AB→C, C→D} (2) 去掉 F 中的所有函数依赖左边的冗余属性 因为 A + = { A , B , C , D } ( 含 C ) ， B + = { B } A^+=\{A, B, C, D\}(含C)，B^+=\{B\} A+={A,B,C,D}(含C)，B+={B}(不含C)，故在 “AB→C” 中，B 是冗余属性。 所以 F = {A→B, A→D, A→C, C→D} (3) 去掉 F 中所有冗余的函数依赖关系 因为对于 “F = {A→B, A→C, C→D} ” 而言， A + = { A , B , C , D } ( 含 D ) A^+=\{A, B, C, D\}(含D) A+={A,B,C,D}(含D)，所以 “A→D” 是冗余的函数依赖关系 所以 F = {A→B, A→C, C→D}

◆ 注： 在上述的 (3) 中，也可以这样：对于 “F = {A→B, A→D, A→C} ” 而言， A + = { A , B , C , D } ( 含 D ) A^+=\{A, B, C, D\}(含D) A+={A,B,C,D}(含D)，所以 “C→D” 是冗余的函数依赖关系，故 F = {A→B, A→D, A→C}

◆ 所以 F 的最小依赖集 F m F_m Fm​ 不一定是唯一的：

◆ 为什么有 “C→A”？：因为通过最小依赖集 F m 1 F_{m1} Fm1​ 或 F m 2 F_{m2} Fm2​ 能够还原出 F。C→A 如果不包含在最小依赖集当中的话。靠谁来还原出来 C→A？

● 如何判断一个模式分解的无损连接性：

● 样例4： (考试不要求掌握)

● 特殊情况： 分解仅由 2 个模式组成。

● 定理6.5： 设R (U,F)，有 ρ={R1，R2}，则对于 F，ρ 相对于 F 是无损分解的充分必要条件是：U1∩U2→U1-U2∈F+ 或U1∩U2→U2-U1∈F+。⭐️ ⭐️

● 样例5： (考试要求掌握) ⭐️ ⭐️

● 判断一个分解是否保持依赖：用判断两个函数依赖集是否等价的方法。

● 样例6： (考试要求掌握)

◆ 注： 依赖保持性的分解 ≠ 连接不失真。一个具有依赖保持性的分解不一定具有连接不失真性。反之，一个连接不失真分解也不一定具有依赖保持性。

● 如果说 R(U, F) 中的 F 已经是最小依赖集了，那么就按下面的流程走。如果不是，就要先把 F 转变为 最小依赖集 才行。（下图的例题已经是最小依赖集了，考试出题目都会是极小化，不需要大家再做这个动作了） ● 简而言之：  ① 先求出 F 的最小依赖集，然后把最小依赖集中那些左部相同的 F 合并【比如说，把上面 “2.3” 图例中的 Fm1 中的 “A→B、A→C” 合并为 “A→BC”】。  ② 就是把 “→” 的左右两边组合起来，成为一个个 “子关系”。比如就把 R = R 分解为 R1、R2，其中 R1 = R1，R2=R2。  ③ 如果存在 “A→B1、A→B2”，就这样合成：R3。

● 简而言之： 就是在 “算法6.3” 的基础上，多 ∪ 一个候选码。图中因为 “HSR” 包含了 “HS”，所以 并 之前和 并 之后结果一样。

● 这个考试要求掌握： ⭐️ ⭐️ 【理解可能需要花费一定的时间】

● 样例7：

● 样例8：【课程C、教师T、时间H、教室R、学生S、成绩G】

◆ 解释： HS 是主码。那一开始选出 “CS→G”，因为 “CS” 不含键。【码的意思即是键，含键的意思是包含整个的键(属性的组合)只有一部分的不算含】。当然，也可以首先分解 HR→C，或者首先分解 HT→R 。虽然，老师说是可以，但我觉得分解顺序应该和 “拓扑顺序” 有关，这个需要画有向结点图(如下图所示，其中虚线代表"间接推导线"，带红圈的实线代表"下一步将分解的线")。

◆ 注： 上述结果虽然转换为了 BCNF 的无损分解，但丢失了函数依赖 HT→R。这说明无损连接不一定能保证函数依赖。

答案：C，因为 B E F + = U BE_{F}^{+}=U BEF+​=U，即 B E F + = { A , B , C , D , E } BE_{F}^{+}=\{A,B,C,D,E\} BEF+​={A,B,C,D,E}，即通过 BE 就能推导出所有属性或属性组。

答案：B。根据 Armstrong 公理导出 F 的闭包 F+ 是一个 NP 完全问题，故不可行。

答案：A。若某属性不在函数依赖集 F 中出现，说明该属性是一个 “独立的属性”，它与其他属性没关系。换句话说。它既不能推导其他属性(或属性组)，也不能由其他属性(或属性组)推导出它。而候选码就是能推导出所有 属性(或属性组) 的 属性(或属性组)，显然，若 X 不在在函数依赖集 F 中出现。那 X 必须要包含在候选码中。因为 X 可以→ X。

答案：A。书上的定理6.2可知。

答案：ABC。书上的定义6.11。

答案：A。这篇博客的前面的 “2.3” 讲过。

答案：A。满足 2NF 的规矩：每一个非主属性完全依赖任何一个候选码。

答案：B。转换为 BCNF 的无损连接不一定能保证函数依赖。上面的例子有提到反例。

答案：A。书上定理6.5.

● 在写这篇博客的一开始。B站上这部分讲解的很笼统，很多理解都不到位。书上定义又繁杂。PPT很多细节没有展开，难以串通。老师的腾讯回放又过期了。所以写的过程中还是感觉蛮棘手的。

● 关系数据理论。这部分，主要是理论，老师说，主要是会用。笔者也就主要写了如何正确使用和解题。

● 如果不足，欢迎评论区留言讨论。

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