第二章 第二节 简谐运动的回复力和能量

本节按从特殊到一般的思路，以弹簧振子为例，进一步探讨了简谐运动的能量变化规律。

本节内容按以下思路展开：

1．分析弹簧振子经过不同位置时受力与运动状态改变的关系，归纳得出回复力的概念和振子做简谐运动的条件。

2．分析弹簧振子运动过程中，回复力做功与弹性势能变化的关系，结合机械能守恒定律，理解做简谐运动的系统内部动能、做功与能量的转化，以及机械能的守恒。

学习本节内容，将经历观察、分析弹簧振子振动过程中受力与运动状态变化、做功与机械能转化的过程，在巩固和深化运动与相互作用观念及能量观念的同时，发展科学推理与探究的能力。

（1）回复力是根据力对物体运动状态改变的效果来命名的。（2）简谐运动的受力特征是物体所受回复力 F 满足 F = − kx 的关系，式中 x 表示物体离开平衡位置的位移，k 为比例常量，由物体组成的振动系统的固有性质决定。对弹簧振子而言，该常量即为弹簧的劲度系数。

解答（2）示范了基于证据的解释方式。上述解释分别从运动学和动力学的角度展开，看似相互独立，实际上振子速度的变化与其所受回复力的作用是相互联系的。

一般而言，简谐运动的周期是由系统的性质决定的，可通过动力学方程得出相应的表达式，具体参考本书第 43 页资料链接。

此处的“自主活动”耍求学生对照教材图 2 – 10，利用对称性，根据表中给出的示范，完成表格并讨论交流。

交流时，需要引导学生从回复力做功出发，分析能量转化关系。

振动系统具有的总机械能称为系统的振动能量。以弹簧振子为例，计算做简谐运动的系统的振动能量。

设弹簧振子在某时刻 t 的位移为 x = Acos（ωt + φ），则该时刻振子的速度为 v = − ωAsin（ωt + φ）。故弹簧振子系统的振动能量为 E = \(\frac{1}{2}\)kx2 + \(\frac{1}{2}\)mv2 = [Acos（ωt + φ）]2 + \(\frac{1}{2}\)m[− ωAsin（ωt + φ）]2。由于 ω2 = \(\frac{k}{m}\)，可得：E = \(\frac{1}{2}\)kA2 = \(\frac{1}{2}\)mω2A2。由此可见，做简谐运动的系统机械能守恒，且振幅 A 反映了系统振动的总机械能。

1．参考解答：如下表

小球位置

位移

回复力

加速度

速度

C

向右 最大

向左 最大

向左 最大

0

C→O

向右 减小

向左 减小

向左 减小

向左 增大

O

0

0

0

向左最大

O→B

向左 增大

向右 增大

向右 增大

向左减小

B

向左 最大

向右 最大

向右 最大

0

B→O

向左 减小

向右 减小

向右 减小

向右 增大

O

0

0

0

向右 最大

O→C

向右 增大

向左 增大

向左 增大

向右 减小

命题意图：将一个全振动过程分段，利用表格的形式引导学生发现规律，在填表的过程中，明确表格中各个物理量之间的关系所遵循的物理规律，体会振动的对称性和周期性。

主要素养与水平：科学推理（Ⅱ）；解释（Ⅱ）。

2．参考解答：（1）0 ~ 2 s 和 4 ~ 6 s 时间内质点相对平衡位置的位移方向沿 x 轴正方向。

（2）该质点做简谐运动的周期为 4 s，故该质点在任意 4 s 内的路程是相同的，为 20 cm。

（3）图中 0 ~ 1 s，2 ~ 3 s，4 ~ 5 s 时间内，质点的位移方向与瞬时速度方向相同；图中 1 ~ 2 s，3 ~ 4 s，5 ~ 6 s 时间内，质点的位移方向与瞬时速度方向相反。

（4）2 ~ 4 s时间内质点受到的回复力方向沿 x 轴正方向。

命题意图：建立图像与简谐运动的关系，根据图像中的信息分析振动的过程，厘清各个物理量之间的关系，特别是矢量的方向性。

主要素养与水平：模型建构（Ⅱ）；科学推理（Ⅲ）。

3．参考解答：根据胡克定律可知，小球运动到平衡位置左侧 4 cm 处，受到的回复力为 8 N。由振动的对称性知，小球运动到平衡位置右侧 4 cm 处，受到的回复力为 8 N，方向向左。由牛顿第二定律得 a = \(\frac{F}{m}\) = \(\frac{8}{0.2}\) m/s2 = 40 m/s2，方向向左。

命题意图：对具体的振动过程运用振动的对称性，形成完整的证据链，进行定量分析。

主要素养与水平：科学推理（Ⅲ）；科学论证（Ⅲ）。

4．参考解答：如图 4 所示。

提示：三个图中表示机械能 E 的矩形一样高，图（d）中表示动能 Ek 和势能 Ep 之和等于机械能 E。

命题意图：以图（b）为支架，通过图示直观描述振动过程中能量的变化和能量的守恒。

主要素养与水平：能量观念（Ⅲ）；交流（Ⅲ）。

5．参考解答：振幅是表示振动强弱的物理量，与振动系统的总机械能有关。振子经过最大位移处时速度为零，此时系统的机械能为弹性势能。黏土从高处竖直落在振子上，改变滑块的质量，不改变滑块振动方向的速度和系统的弹性势能，因此系统的机械能不变，振幅不变。

命题意图：从碰撞和能量的角度，对一个比较复杂的现象进行定性分析。

主要素养与水平：能量观念（Ⅲ）；科学推理（Ⅳ）。