bp神经网络中的梯度啥意思神经网络梯度计算

2023-07-11 19:32| 来源: 网络整理| 查看: 265

前言

反向传播计算梯度，表示模型的参数。是使用正向传播和损失函数来计算的。计算公式如下：

$\frac{df(x)}{dx} = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

因为向前传播相对容易实现，所以比较容易获得正确的结果，确定要计算成本正确。因此，可以通过计算验证计算。一维梯度检查

一维线性函数。该模型只包含一个实值参数，并采取x作为输入。这里写图片描述

bp神经网络中的梯度啥意思神经网络梯度计算_反向传播_02

一维线性模型

上图显示了关键的计算步骤：首先从开始，然后评估该功能（“前向传播”）。然后计算导数（“反向传播”）。下面就用代码来实现。

导入依赖包

首先我们要导入相应的依赖包，其中一些工具类可以在这里下载。

# coding=utf-8 from testCases import * from gc_utils import sigmoid, relu, dictionary_to_vector, vector_to_dictionary, gradients_to_vector正向传播

下面是线性前向传播函数代码：

def forward_propagation(x, theta): """ 实现线性向前传播(计算J) (J(theta) = theta * x) Arguments: x -- 一个实值输入 theta -- 我们的参数，一个实数。 Returns: J -- 函数J的值, 计算使用公式 J(theta) = theta * x """ J = theta * x return J反向传播

线性反向传播函数，计算公式是：

def backward_propagation(x, theta): """ 计算J对的导数 Arguments: x -- 一个实值输入 theta -- 我们的参数，一个实数。 Returns: dtheta -- 成本的梯度。 """ dtheta = x return dtheta开始检查然后使用反向传播计算梯度，并将结果存储在一个变量“grad”中。最后，使用以下公式计算“gradapprox”和“grad”之间的相对差异：

如果计算得到的结果足够小，就证明是梯度没问题了，以下是梯度检查代码：

def gradient_check(x, theta, epsilon=1e-7): """ 实现反向传播 Arguments: x -- 一个实值输入 theta -- 我们的参数，一个实数 epsilon -- 用公式对输入进行微小位移计算近似梯度 Returns: difference -- 近似梯度与反向传播梯度之间的差异。 """ # 用公式的左边来计算gradapprox(1) thetaplus = theta + epsilon # Step 1 thetaminus = theta - epsilon # Step 2 J_plus = thetaplus * x # Step 3 J_minus = thetaminus * x # Step 4 gradapprox = (J_plus - J_minus) / (2 * epsilon) # Step 5 # ：检查gradapprox是否足够接近backward_propagation()的输出 grad = backward_propagation(x, theta) numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox) # Step 1' denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox) # Step 2' difference = numerator / denominator # Step 3' if difference < 1e-7: print ("梯度是正确的!") else: print ("梯度是错误的!") return difference

然后执行这一段代码，看看梯度是否正确：

if __name__ == "__main__": x, theta = 2, 4 difference = gradient_check(x, theta) print("difference = " + str(difference))

当结果满足difference < 1e-7，梯度是正确的。

梯度是正确的! difference = 2.91933588329e-10多维梯度检查

多维梯度模型的向前和向后传播如下图：

bp神经网络中的梯度啥意思神经网络梯度计算_python_03

LINEAR - > RELU - > LINEAR - > RELU - > LINEAR - > SIGMOID

向前传播

多维梯度的向前传播：

def forward_propagation_n(X, Y, parameters): """ 实现前面的传播(并计算成本)，如图3所示。 Arguments: X -- m例的训练集。 Y -- m的样本的标签 parameters -- 包含参数的python字典 "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3": W1 -- 权重矩阵的形状(5, 4) b1 -- 偏差的矢量形状(5, 1) W2 -- 权重矩阵的形状(3, 5) b2 -- 偏差的矢量形状(3, 1) W3 -- 权重矩阵的形状(1, 3) b3 -- 偏差的矢量形状(1, 1) Returns: cost -- 成本函数(一个样本的逻辑成本) """ # 检索参数 m = X.shape[1] W1 = parameters["W1"] b1 = parameters["b1"] W2 = parameters["W2"] b2 = parameters["b2"] W3 = parameters["W3"] b3 = parameters["b3"] # LINEAR -> RELU -> LINEAR -> RELU -> LINEAR -> SIGMOID Z1 = np.dot(W1, X) + b1 A1 = relu(Z1) Z2 = np.dot(W2, A1) + b2 A2 = relu(Z2) Z3 = np.dot(W3, A2) + b3 A3 = sigmoid(Z3) # Cost logprobs = np.multiply(-np.log(A3), Y) + np.multiply(-np.log(1 - A3), 1 - Y) cost = 1. / m * np.sum(logprobs) cache = (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) return cost, cache反向传播

多维梯度的反向传播：

def backward_propagation_n(X, Y, cache): """ 实现反向传播。 Arguments: X -- 输入数据点，形状(输入大小，1) Y -- true "label" cache -- 缓存输出forward_propagation_n() Returns: gradients -- 一个字典，它包含了每个参数、激活和预激活变量的成本梯度。 """ m = X.shape[1] (Z1, A1, W1, b1, Z2, A2, W2, b2, Z3, A3, W3, b3) = cache dZ3 = A3 - Y dW3 = 1. / m * np.dot(dZ3, A2.T) db3 = 1. / m * np.sum(dZ3, axis=1, keepdims=True) dA2 = np.dot(W3.T, dZ3) dZ2 = np.multiply(dA2, np.int64(A2 > 0)) dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2 # 这有个错误 db2 = 1. / m * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True) dA1 = np.dot(W2.T, dZ2) dZ1 = np.multiply(dA1, np.int64(A1 > 0)) dW1 = 1. / m * np.dot(dZ1, X.T) db1 = 4. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True) # 这有个错误 gradients = {"dZ3": dZ3, "dW3": dW3, "db3": db3, "dA2": dA2, "dZ2": dZ2, "dW2": dW2, "db2": db2, "dA1": dA1, "dZ1": dZ1, "dW1": dW1, "db1": db1} return gradients

开始检查

同样这个还是用回来之前的公式：

但有一些不同的是，不再是一个标量。这是一个叫做“参数”的字典。其中函数是“ vector_to_dictionary”，它输出“参数”字典，操如下图：

bp神经网络中的梯度啥意思神经网络梯度计算_反向传播_04

For each i in num_parameters:

计算 J_plus[i]: Set to np.copy(parameters_values) Set to 使用 forward_propagation_n(x, y, vector_to_dictionary())计算计算 J_minus[i]：同样计算计算

最后使用以下的公式计算结果差异：

def gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y, epsilon=1e-7): """ 检查backward_propagation_n是否正确地计算了正向传播的成本输出的梯度。 Arguments: parameters --包含参数的python字典 "W1", "b1", "W2", "b2", "W3", "b3": grad -- backward_propagation_n的输出包含参数的成本梯度。 x -- 输入数据点，形状(输入大小，1) y -- true "label" epsilon -- 用公式对输入进行微小位移计算近似梯度 Returns: difference -- 近似梯度与反向传播梯度之间的差异。 """ # Set-up variables parameters_values, _ = dictionary_to_vector(parameters) grad = gradients_to_vector(gradients) num_parameters = parameters_values.shape[0] J_plus = np.zeros((num_parameters, 1)) J_minus = np.zeros((num_parameters, 1)) gradapprox = np.zeros((num_parameters, 1)) # Compute gradapprox for i in range(num_parameters): thetaplus = np.copy(parameters_values) # Step 1 thetaplus[i][0] = thetaplus[i][0] + epsilon # Step 2 J_plus[i], _ = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaplus)) # Step 3 thetaminus = np.copy(parameters_values) # Step 1 thetaminus[i][0] = thetaminus[i][0] - epsilon # Step 2 J_minus[i], _ = forward_propagation_n(X, Y, vector_to_dictionary(thetaminus)) # Step 3 # Compute gradapprox[i] gradapprox[i] = (J_plus[i] - J_minus[i]) / (2 * epsilon) # 通过计算与反向传播梯度比较差异。 numerator = np.linalg.norm(grad - gradapprox) # Step 1' denominator = np.linalg.norm(grad) + np.linalg.norm(gradapprox) # Step 2' difference = numerator / denominator # Step 3' if difference > 2e-7: print ( "\033[93m" + "反向传播有一个错误! difference = " + str(difference) + "\033[0m") else: print ( "\033[92m" + "你的反向传播效果非常好! difference = " + str(difference) + "\033[0m") return difference

最后运行一下这个多维梯度检测：

if __name__ == "__main__": X, Y, parameters = gradient_check_n_test_case() cost, cache = forward_propagation_n(X, Y, parameters) gradients = backward_propagation_n(X, Y, cache) difference = gradient_check_n(parameters, gradients, X, Y)

以下是输出结果，可以看到已经超过最低的误差了：

反向传播有一个错误! difference = 0.285093156781

所以我们知道backward_propagation_n的代码有错误！这时我们可以去检查backward_propagation并尝试查找/更正错误，最后我们找到以下的代码出了错误：

dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T) * 2 db1 = 4. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

然后我们修改正确的代码：

dW2 = 1. / m * np.dot(dZ2, A1.T) db1 = 1. / m * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

我们再检查一遍的结果是：

你的反向传播效果非常好! difference = 1.18904178766e-07

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