常见的几类矩阵（正交矩阵、酉矩阵、正规矩阵等）

2024-07-04 07:55| 来源: 网络整理| 查看: 265

目录实对称矩阵定义实反对称矩阵定义厄米特矩阵定义反厄米特矩阵定义正交矩阵定义性质酉矩阵（幺正矩阵）定义性质正规矩阵定义性质正定矩阵定义性质充要条件友矩阵（伴侣矩阵）定义性质旋转矩阵定义性质对比

实对称矩阵定义

A T = A A^T=A AT=A

实反对称矩阵定义

A T = − A A^T=-A AT=−A

厄米特矩阵定义

A H = A A^H=A AH=A

反厄米特矩阵定义

A H = − A A^H=-A AH=−A

正交矩阵定义

A T A = A A T = I A^TA=AA^T=I ATA=AAT=I

换言之，当 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1时， A A A被称为正交矩阵性质 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1 酉矩阵（幺正矩阵）定义

A A H = A H A = I AA^H=A^HA=I AAH=AHA=I

其中， A H A^H AH表示共轭转置换言之，当 A H = A − 1 A^H=A^{-1} AH=A−1时， A A A被称为酉矩阵性质 A H = A − 1 A^H=A^{-1} AH=A−1酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，所以 ∣ d e t ( A ) ∣ = 1 |det(A)|=1 ∣det(A)∣=1A的列向量构成内积空间C上的一组标准正交基A的行向量构成内积空间C上的一组标准正交基酉矩阵是正规矩阵正规矩阵定义

A H A = A A H A^HA=AA^H AHA=AAH

性质对角矩阵、（反）实对称矩阵、（反）厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵；当 A A A的全部特征值为实数时，是厄米特矩阵；当 A A A的全部特征值为零或虚数时，是反厄米特矩阵；当 A A A的全部特征值的模为1时，是酉矩阵； A A A为正规矩阵的充要条件：存在酉矩阵 Q Q Q，使得 A A A酉相似于对角矩阵；与正规矩阵 A A A有相似的矩阵都是正规矩阵；正规矩阵 A n × n A_{n \times n} An×n必有 n n n个线性无关的特征向量；正规矩阵 A A A的不同特征值的特征子空间是互相正交的。正定矩阵定义

对于 n n n阶方阵 A A A，若对于任何非零向量 x x x，都有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0，则 A A A为正定矩阵。

性质行列式恒为正；实对称矩阵 A A A正定当且仅当 A A A与单位矩阵合同；若 A A A是正定矩阵，则 A A A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵；充要条件 A A A的特征值均为正；存在可逆矩阵 P P P，使得 A = P T P A=P^TP A=PTP，即 A A A与 I I I合同； A A A的顺序主子式均大于零； A A A的正惯性指数为 n n n；友矩阵（伴侣矩阵）定义

A = [ 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 − a n − 2 0 0 ⋯ 1 − a n − 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

主对角线上方或者下方的元素均为1，主对角线元素为零；最后一行或第一行的元素可取任意值；而其余元素均为零; 性质方阵的有理标准形就是由友矩阵块构成的分块对角矩阵，而有理标准形在应用上以及理论推导中，都有较大的作用；旋转矩阵定义

A = [ 1 ⋱ 1 c o s θ s i n θ 1 ⋱ 1 s i n θ c o s θ 1 ⋱ 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

A ( p , p ) = A ( q , q ) = c o s θ A(p,p) = A(q,q) = cos\theta A(p,p)=A(q,q)=cosθ， A ( p , q ) = A ( q , p ) = s i n θ A(p,q) = A(q,p) = sin\theta A(p,q)=A(q,p)=sinθ，主对角线为1，其他位置均为0；对于矩阵 X X X，左乘 A T A^T AT，则第 p p p行和第 q q q行发生改变；对于矩阵 X X X，右乘 A A A，则第 p p p列和第 q q q列发生改变；性质 A A A为正交矩阵；两个向量被同一个旋转矩阵操作之后，内积保持不变对比定义实对称矩阵 A T = A A^T=A AT=A反实对称矩阵 A T = − A A^T=-A AT=−A厄米特矩阵 A H = A A^H=A AH=A反厄米特矩阵 A H = − A A^H=-A AH=−A正交矩阵 A A T = A T A = I AA^T=A^TA=I AAT=ATA=I酉矩阵（幺正矩阵） A A H = A H A = I AA^H=A^HA=I AAH=AHA=I正规矩阵 A A H = A H A AA^H=A^HA AAH=AHA正定矩阵 ∀ x , x T A x > 0 \forall x,x^TAx>0 ∀x,xTAx>0友矩阵（伴侣矩阵） A = [ 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 − a n − 2 0 0 ⋯ 1 − a n − 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡010⋮0001⋮0⋯⋯⋱⋱⋯00⋮01−a0−a1⋮−an−2−an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤旋转矩阵 A = [ 1 ⋱ 1 c o s θ s i n θ 1 ⋱ 1 s i n θ c o s θ 1 ⋱ 1 ] A=\left[ \begin{matrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & & \\ & & & cos\theta & & & & sin\theta \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ & & & sin\theta & & & & cos\theta \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1cosθsinθ1⋱1sinθcosθ1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

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