数学为我们驱散乌云

那些时常困扰古代哲人，

并且让各学派陷入毫无意义的无端辩论的事物，

现在就在我们眼前。

这都要归功于数学，

是它驱散了乌云。

                                                                        ——埃德蒙·哈雷

                                                       对牛顿及其《原理》一书的赞颂，1687

在牛顿逝世两个世纪后，爱因斯坦这样写道：“这位才华横溢的天才奠定了西方思想、研究和实践的发展路线。这项成就前无古人，后无来者。”爱因斯坦后来还评论说，牛顿最辉煌的成就之一是“首创了一套全面、可行的理论物理学体系”。

牛顿从没有提及“物理学家”“科学家”这样的字眼——这两个词是在他去世100多年后才出现的，相反，他认为自己首先是上帝的子民，然后才是数学家和自然哲学家，他的工作是通过结合理论与实验，从理性的角度理解上帝创造的万物。牛顿于1687 年出版了《原理》一书，在书中他首次公开阐明了自己研究的自然哲学的数学方法。这部分为三卷的著作很快就让牛顿声名大噪，并且奠定了他启蒙运动奠基人之一的地位。在这版《原理》的序言中，牛顿明确表示，自己提出的这一体系的重要性不亚于“一种新的哲学推理模式”。

牛顿拒绝使用被几乎所有同时代人都认可的最好的工作方式。当时，牛顿的同行们热衷于寻找能够解释大自然运作方式的各类机制，他们把大自然看成一件需要拆解的庞大的钟表装置。而牛顿则把研究重心放在了地球及宇宙中物质的运动上，他可以运用数学精确描述这部分上帝造物。最重要的是，他坚持认为，检验理论的唯一标准就是考察它对现实世界中最精确的观测结果给出的解释有多么准确。如果理论预测与实验结果在允许的误差范围内不吻合，那么就应该修正这个理论，或者用更好的理论代替。如今，这一切都听上去理所当然，但在牛顿那个时代，这还是个激进的观点。

作为一名虔诚而冷静的新教徒，牛顿认为自己就是为诠释上帝在创世中扮演的角色而生的。为了达成这个目标并完成其他工作，牛顿投入了常人难以想象的巨大精力。

牛顿对自然哲学的新构想并不是凭空出现的，而是数十年精心思索与细致研究的成果。在《原理》一书的开卷语中，牛顿感谢了以下两类人对这本书的贡献：一是古希腊人，他们早在一千多年前就把重心放在了诠释运动现象上；二是牛顿那个时代的思想者，他们“将自然现象归结为数学定律”。

古希腊人最接近现代意义的科学（科学“science”这个词源于拉丁语“scientia”，意为“知识”）工作来自哲学家亚里士多德。他相信，在我们周遭这个纷乱嘈杂的世界背后，大自然正按照某些原则有条不紊地运行，这些原则可以被人类发现，并且不会受到外界干扰（比如某些爱管闲事的神明）。在所有古代哲学流派中，亚里士多德这一派最为关注自然（physica，源于physis一词），包括了从天文学到心理学的所有研究。“物理学”（physics）这个词就是由“physica”变化而来的，但直到19 世纪初才有了现在的含义。

亚里士多德的研究范围甚广—从宇宙学到动物学，从诗歌到伦理，这也许使他成为有史以来研究自然的最有影响力的思想家。他认为，自然世界可以用普遍原理来描述，而这些普遍原理表达了能够影响事物的各类变化（比如事物形状、颜色、大小以及运动状态的改变）出现的深层原因。亚里士多德在科学方面的文章，包括他的著作《物理学》，在大多数现代读者看来都有些奇怪，部分原因是他试图通过纯粹的推理去理解这个世界，虽然这些推理也有细致的观察作为支撑。

亚里士多德世界观的一大特点是，他的体系中根本没有数学的位置。例如，他拒绝使用算术和几何学方法。要知道，当他开始思考科学问题时，这两门学科已经有几千年的基础了。算术和几何学这两个数学分支都是以人类经验为基础，由思想家发展起来的。这些思想家迈出了从对现实世界的观察转变到对一般抽象规则的归纳的关键一步。举个例子，当人类第一次将两根棍子、两匹狼、两根手指这样的概念概括成数字2 这个抽象概念，而不用再与任何具体对象联系在一起时，算术中最基本的元素就出现了。尽管我们现在很难确定这项成就最早出现在什么时候，但这个抽象化的认识影响深远。几何学（空间中点、线与角之间的关系）的起源时间倒是比较容易追溯：在公元前3000年左右。当时，古巴比伦人和古印度河流域的人们开始研究陆地、海洋与天空。然而，在亚里士多德的眼中，科学这门学科里并没有数学的一席之地。他认为，“数学方法并不是一种自然科学方法”。

亚里士多德对数学的排斥态度与他的老师柏拉图以及另一位著名古希腊人毕达哥拉斯的哲学理念背道而驰。（毕达哥拉斯这个人或许根本就不存在，他的各类成就有可能是其他人的工作。）毕达哥拉斯学派致力于对算术、几何、音乐和天文的研究，他们认为整数非常重要。举个例子，毕达哥拉斯学派非常擅长解释音乐和声与几何物体之间的关系，这让他们相信，要想从本质上理解宇宙的运作方式，整数是必不可少的关键所在。

柏拉图认为数学是哲学的基础，并且确信几何学是通向理解世界运作方式之门的钥匙。对柏拉图来说，我们周遭世界的复杂现实，在某种意义上是抽象的数学世界中独立存在的完美数学对象的投影。在那个世界中，二维形状和其他几何对象是完美的—点无限小，线无限直，平面无限平，等等。例如，他会把大致呈方形的桌面看成一个完美正方形的“影子”，这个完美正方形无限薄，构成它的线无限直并且以无限精确的90°角相交。这样完美的数学对象在现实世界中是不可能存在的，但这是现代数学家所称的柏拉图世界的一大特征。在他们看来，柏拉图的世界与我们周遭的世界一样真实。

亚里士多德逝世不到25年，古希腊思想家欧几里得就为数学思想引入了严格的新标准。在他的十三卷本巨著《几何原本》中，欧几里得清晰且全面地阐述了几何学基础，为这门学科的逻辑推理设定了新标准。这部巨著并不好读，然而《几何原本》还是成了数学史上最具影响力的著作，并且对数个世纪的思想家都产生了深刻影响。后世为其折服的顶尖物理学家就包括爱因斯坦，他曾评价：“如果欧几里得没能点燃你年轻时的热情，那你生来就不是当科学家的料。

同时，数学也变得越发实用了。阿基米德特别擅长将数学思维运用到发明创造中去，比如他的螺旋抽水机和抛物面镜。与他同时代的几位希腊人还运用几何推理测算了太阳和月亮与地球之间的距离、地球的周长和地球自转轴倾角，得到的结果精度很高。几个世纪后，人类才用数学定律去描述在地球上观察到的周遭事物的行为的规律性。不过，数学此时已经给被束缚在小小地球上的人类赋予了超越自己感官的能力，人们得以借助想象推理的力量，让自己的思想直上天空。

到了16 世纪中叶，也就是莎士比亚出生的那个时候，数学在几乎所有物理学分支中都占据了重要地位，比如天文学、光学、水力学，甚至包括音乐。涉及数学与世界关系的新观点越来越受欢迎，人们开始逐渐质疑统治了基督教和伊斯兰教思想长达2000年的亚里士多德式思维。引发这股思潮的一大重要事件就是尼古拉·哥白尼于1543年提出的观点：宇宙的中心并非地球，而是太阳。这一激进的观点标志着后来人们熟知的“科学革命”的开端。这场革命的先驱中有两位天文学家兼数学家：德国人约翰内斯·开普勒和意大利人伽利略·伽利雷。

他们认为，理解世界的最佳方式并不是把关注的焦点放在事物的肤浅表象上，而是精确地描述事物的运动。对他们来说，测量物体的运动，并识别出其中的数学规律性尤为重要。开普勒的一大成就就是找出了行星绕太阳运动的规律性。而伽利略发现的规律性就离我们近多了—他从自由下落的物体的运动路径中找出了这种规律性。

对虔诚的开普勒来说，上帝就是“宇宙的设计师”。上帝创世的时候必然遵循了某种计划，而人类可以通过几何学（开普勒认为它是一门充满神性的科学）去理解这个计划。好与人争的伽利略常常强调把对科学理论的预测与对现实世界的观察结果放在一起比较的重要性：这种信念让他成了爱因斯坦眼中的“现代物理学之父”，哪怕伽利略习惯夸大他得到的实验数据的准确性。伽利略在数学领域也有诸多建树，并且大力赞扬数学对人类理解自然世界的重要性，还在1623年提出了著名论断：自然之书是用“数学语言书写的”。伽利略的思想是当时欧洲许多最为繁荣的城市的文化潮流的一部分：随着新的记账方法的发明和几何透视法在艺术与建筑学中的应用，数学逐渐成为商业生活和艺术生活的支柱。

不过，开普勒和伽利略都没有完全掌握未来科学的核心理念—描述自然世界的定律适用于宇宙各处，或许还适用于宇宙诞生以来的各个时间点。亚里士多德提出的观点—存在能够描述自然的基础定律—在法国人勒内·笛卡儿的著作中体现得最为明显。这位法国人的工作从17世纪40 年代起主导了欧洲人的自然观数十年（这一段时间见证了伽利略的离世，也见证了牛顿的降生）。笛卡儿把亚里士多德提出的科学思想放在一边，试图用他生动描绘的各类机制解释引力、热、电以及现实世界中的其他方面，但他在提出这类解释时也清楚地知道，无论是他还是其他人，都没有直接证据能够证明这些机制是正确的。

笛卡儿在他的著作《哲学原理》中介绍了自己的想法。对于这本书，他本人推荐像读小说一样从头读到尾。（他还提醒读者，阅读文本时产生的大部分困难都会在读第三遍时消失。）《哲学原理》中用到的数学知识非常少，并且也没有说明实验者可以如何检验自己提出的机械理论，比如笛卡儿自己提出的巨大物质旋涡推动行星环绕太阳运动的理论。当时伦敦最杰出的实验学家罗伯特·胡克是笛卡儿的狂热崇拜者，但他也逐渐对当时盛行的只靠思考和想象研究科学的方法失去了耐心：“事实情况是，长期以来，对自然的科学研究一直只靠着大脑和想象力来进行。这种状况已经维持了太长时间了，现在是时候让研究方法回归到对物质和肉眼可见事物的朴素而坚实的观察上来了。”

当胡克在1665年写下这句话时，22岁的艾萨克·牛顿正在数学和自然哲学这两个领域做出惊人的创造性工作。那个时候，牛顿已经充分了解了古希腊人的思想，甚至还在一个笔记本上写下了一句古老的学术谚语：“吾爱柏拉图，吾爱亚里士多德，吾尤爱真理。”牛顿对开普勒、伽利略和笛卡儿的发现，以及他们和其他思想家就推翻亚里士多德思想取得的共识也相当熟悉。在牛顿学习数学的过程中，最重要的事件是他阅读了笛卡儿的《几何学》：用著名牛顿研究者戴维·怀特赛德的话来说，牛顿在大约看到这本书的100页时，燃起了“对数学的极大热情”。如果牛顿当时就把他在这一时期的数学发现全部出版的话，人们一定会觉得他就是这个领域内的世界顶尖专家之一，尽管牛顿的同事几乎都不知道他究竟做了什么。直到差不多25年之后，他才被世人认可，当时，牛顿开始以数学和定量观察为基础，把科学转为对自然世界更为系统的研究。他在自己的代表作中就是这样做的，这部作品也成了人类思想史上最重要的著作之一。

要是没有天文学家埃德蒙·哈雷（如今他最为人熟知的成就是观测了那颗以他名字命名的彗星）的鼓励和坚持，牛顿或许不会写出《原理》这本书。作为牛顿为数不多的几个朋友之一，哈雷花了差不多3年时间劝说这位不太情愿写书的作者发表这部作品。哈雷甚至提出出版费用可以由他来支付。1687年7月5日，星期六，大约500页的《原理》在伦敦上市销售。这一天在科学史上值得大书特书，但在当时并没有掀起任何波澜。出版商总共印了大约600册，而且历经千辛万苦才全部卖光，哪怕有匿名评论称赞这位“无与伦比的作者”写出了“能够证明思维力量的最经典例子”（这段评论其实是哈雷写的）。牛顿在书中以极其简朴的风格阐述了主题，据他后来说，之所以这样写，部分原因是为了“避免招惹上那些对数学一知半解的人”。结果就是，除了少数几位同行之外，基本上没人能读懂这部作品：在牛顿的有生之年，完整读过《原理》的人不超过100个，并且可以肯定的是，这些人中也只有很少一部分人能够理解书中的全部内容。

牛顿给这本著作起了个副书名，叫作“自然哲学的数学原理”，这显然是借鉴了笛卡儿的《哲学原理》。这表明牛顿的重点在于自然哲学，也就是真实世界中发生的一切，而不是广泛意义上的哲学，并且他提出的原理本质上都是数学方面的。牛顿在出版《原理》之前就已详细研究了笛卡儿那本错误百出的书，并且对书中“到处都是假设”的现象日益不满。从某种意义上说，《原理》是对笛卡儿自然哲学观的细化和数学上的修正：牛顿完全专注于真实世界中可以用数学方法解释的那部分内容，这些内容既有普遍性，又有准确性。

在《原理》一书中，牛顿假设时空对身处任何地点的任何人都是一样的。时间“均匀地流动”，而空间的存在“不需要参考任何外在之物”。牛顿采用了一种不掺杂感情色彩、符合逻辑的简朴风格（与欧几里得在《几何原本》中的写作风格颇为相似），提出了或许是科学史上最为大胆的统一观点：在地球上将任何物体（比如苹果）拽到地上的力，与宇宙中作用在行星、月球及其他所有物质天体上的力是同一种力。他用数学描述了这种力，其形式后来被总结为一个简易公式，这个公式已经为所有物理系的学生所熟知：任意两个相距为d的粒子，设其质量分别为m和M，它们之间会产生互相吸引的作用力，力的大小由平方反比律GmM/d^2给出（式中的G是一个常数，无论何时何地，其值都不会发生改变，后来这个数被称为牛顿引力常数）。牛顿证明这个自然定律正确有效的方法，自那时起就成了科学研究的模板。

为了预测引力对行星产生的效应，牛顿使用了三条新的运动定律，并用一种在现代科学家看来极度晦涩的几何方法来运用这些定律。现代科学家用微积分的方法来做这些计算，得到的结果与牛顿完全一致。牛顿在20年前思考曲线的数学性质的时候就已经发现了微积分这种技巧，但并没有把它用在《原理》这本著作中。后来我们知道，德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨差不多也在同一时间独立发明并命名了微积分。由于微积分能够处理连续变化（比如在时间或空间中变化）的非常数物理量，它成了被应用到科学中的最强大的数学技巧，没有之一。然而，牛顿知道，即便是他那些最博学的读者，也几乎都对当时这个令人望而生畏的新数学工具一窍不通，因此他没有在《原理》一书中使用微积分。他在书中使用了几何数学，当时所有著名欧洲大学都开设了这门学科的课程，并且所有顶尖数学家也都对此相当熟悉。

借助数学推理，牛顿的想象力得以轻松、自由地在宇宙中翱翔。他计算了引力在行星、彗星以及其他天体上产生的效应，并且把计算结果与天文学家最精确的观测结果放在一起比较。在一次令人激动的意外发现中，他证明了开普勒此前注意到的那些令人困惑的行星运动规律，可以从数学角度利用引力定律来理解。牛顿还思考了彗星和月球的运动，并且解释了月球和太阳对地球施加的引力如何引发了地球潮汐。在每一个应用实例中，牛顿都会把理论的预测数值（也就是定量预测）与他能得到的最精确的测量结果相比较。理论与观测结果相符，这促使他相信自己给出了有史以来对这部分自然世界的最好解释。

牛顿对自然的解释完全摒弃了笛卡儿的旋涡理论，这令他在欧洲大陆上的同行们感到相当不快。在这些批评者看来，牛顿虽自称描述了行星运动，却没有给出造成这种运动的物理机制，这是绝对不能接受的。牛顿的解释还有一个问题：地球要凭借何种机制才能跨越几千万英里，看似瞬时地对太阳施加吸引力？一位匿名的法国读者对《原理》一书的评论道出了许多不满者的心声：牛顿并不是物理学家，他只是数学家。

牛顿于1696 年前往伦敦就任皇家造币厂厂长，几年后又成了英国皇家学会会长。在此之后的数十年时间里，牛顿和他的批评者之间的争论愈演愈烈。尽管这一时期牛顿做的研究变少了，但他还是会把自己的引力定律同他能得到的每一个对地球和太阳系的新测量结果进行比较。他对批评者毫不留情，会用标志性的攻击和蔑视反击几乎所有的批评者。当然，如果有人以老练圆滑的策略跟他打交道，牛顿也会接受修改作品的建议。第二版《原理》中，该书编辑罗杰·科茨提出了一个牛顿肯定赞同的观点：任何认为只靠想就能理解这个世界的人，以及反对牛顿对于上帝在宇宙中扮演的角色的观点的人，都是“可怜的爬行动物”。

最终，牛顿研究自然哲学的数学方法获得了胜利。他在1723年过八十大寿时，几乎所有欧洲顶尖思想家都已接受了他研究宇宙的方式。同行们对《原理》以及牛顿的后一部著作《光学》推崇备至。和所有的伟大作品一样，他的这两部作品提出了许多问题，并指明了未来的探索方向。不过，牛顿很清楚，自己的工作还未结束。他还没能从理论上证明行星轨道的稳定性，而这一点已被天文学家们通过望远镜证实。他也没能证明自己的理论能够解释月球运动和地球潮汐的一些细节。他还没能发现描述物质基本粒子间相互作用的新数学定律，以扩展他的“哲学推理模式”，从而解释其他现象，比如电、磁、热、发酵，甚至是动物的生长。

牛顿于1727年3 月31日逝世，享年84岁。在牛顿离世前病重的几个星期里，他的医生理查德·米德一直照料着他。牛顿向米德透露，自己还是个处男。35几天后，牛顿下葬了。之后，威斯敏斯特大教堂又举行国葬，把牛顿的遗体葬在了那儿。英国官方为他挑选的墓志铭辞藻华丽，但不如前一次安葬时的那么恰当。前一篇墓志铭由牛顿的好友兼亲戚约翰·康迪特（他后来掌控了牛顿的如今所谓的“肖像权”）撰写，内容如下：

艾萨克·牛顿

在此长眠

他高举数学的火炬

以实验为指引

第一个证明了自然定律

（责任编辑：杨玉露）

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