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有限元方法之三角形元任意阶的Lagrange型形状函数
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前言求解区域1. 一维2. 二维3. 三维
形状函数三角形单元面积坐标三角形单元的Lagrange型形状函数三角形单元上Lagrange型形状函数的节点坐标三角形单元Lagrange型形状函数关键汇总
前言
本文主要介绍Lagrange型形状函数在三角形单元上基函数公式和节点坐标公式的推导，以及相应的面积坐标相关知识。 求解区域求解区域即偏微分方程所定义的区域，或者说几何形状。 1. 一维一维元素多是线元即线段。相应元素节点可以取线段的两个端点，或者线段中点。 2. 二维二维元素有三角形，矩形，四边形等。相应元素节点可以取多边形的顶点，或者边的中点，以及多边形的形心。 3. 三维三维元素有四面体，五面体，三棱柱体，六面体等。 形状函数形状函数一般采用多项式，一是计算方便；二是易于证明其收敛性，并要求多项式的次数与元素（单元）自由度匹配得当。 一维 k k k 次多项式 p k ( x ) = ∑ i = 0 T k ( 1 ) a i x i p_k(x) = \sum_{i=0}^{T_k^{(1)}} a_ix^i pk(x)=i=0∑Tk(1)aixi 其中 T k ( 1 ) = k + 1 T_k^{(1)} = k + 1 Tk(1)=k+1 是 p k ( x ) p_k(x) pk(x) 的项数。 二维
k
k
k 次多项式
p
k
(
x
,
y
)
=
∑
m
=
1
T
k
(
2
)
a
m
x
i
y
j
i
+
j
≤
k
p_k(x, y) = \sum_{m=1}^{T_k^{(2)}} a_mx^iy^j \ \ \ \ \ \ i+j \leq k
pk(x,y)=m=1∑Tk(2)amxiyj i+j≤k 它的独立项数
T
k
(
2
)
=
1
2
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
T_k^{(2)} = \frac{1}{2}(k + 1)(k+2)
Tk(2)=21(k+1)(k+2) 。 二维
k
k
k次完全多项式自由度可以用如下一个三角形排列表示： 三维
k
k
k 次完全多项式
p
k
(
x
,
y
,
z
)
=
∑
l
=
1
T
k
(
3
)
a
l
x
i
y
j
z
m
i
+
j
+
m
≤
k
p_k(x, y, z) = \sum_{l=1}^{T_k^{(3)}} a_lx^iy^jz^m \ \ \ \ \ \ i+j+m \leq k
pk(x,y,z)=l=1∑Tk(3)alxiyjzm i+j+m≤k 其中独立项数
T
k
(
3
)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
(
k
+
3
)
/
6
T_k^{(3)} = (k + 1)(k+2)(k+3)/6
Tk(3)=(k+1)(k+2)(k+3)/6 。 三维
k
k
k次多项式自由度可以排列成如下四面体形式： 在二维问题中，三角形元素被广泛采用，除了它形状简单，随意性大，适应区域形状能力强的优点，当采用面积坐标后，三角形单元的形状函数生成简单，容易标准化。 面积坐标
若三角形三个顶点的直角坐标分别为 A 1 ( x 1 , y 1 ) , A 2 ( x 2 , y 2 ) , A 3 ( x 3 , y 3 ) A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), A_3(x_3, y_3) A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)，并记 a i = y i − y k , b i = − ( x j − x k ) c i = ∣ x j x k y j y k ∣ , i , j , k 按 1 , 2 , 3 轮 换 a_i = y_i-y_k, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b_i = -(x_j-x_k) \\ c_i = \begin{vmatrix} x_j & x_k\\ y_j & y_k\end{vmatrix}, \ \ \ \ \ \ \ \ i, j, k 按1,2,3轮换 ai=yi−yk, bi=−(xj−xk)ci=∣∣∣∣xjyjxkyk∣∣∣∣, i,j,k按1,2,3轮换 记 D 0 = ∣ D ∣ D_0 = |D| D0=∣D∣， 其中 D = ∣ 1 1 1 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ∣ = c 1 + c 2 + c 3 D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} = c_1 + c_2 + c_3 D=∣∣∣∣∣∣1x1y11x2y21x3y3∣∣∣∣∣∣=c1+c2+c3 那么面积坐标与直角坐标之间的关系为 λ i = ( a i x + b i y + c i ) / D 0 , i = 1 , 2 , 3. ( 3 ) \lambda_i = (a_ix + b_iy + c_i)/D_0, \ \ \ \ \ i = 1,2,3. \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) λi=(aix+biy+ci)/D0, i=1,2,3. (3) 或 { x = ∑ i = 1 3 x i λ i y = ∑ i = 1 3 y i λ i λ 1 + λ 2 + λ + 3 = 1 ( 4 ) \left\{\begin{matrix} x = \sum_{i = 1}^3{x_i\lambda_i} \\ y = \sum_{i = 1}^3{y_i\lambda_i} \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda+3 = 1\\\end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4) ⎩⎨⎧x=∑i=13xiλiy=∑i=13yiλiλ1+λ2+λ+3=1 (4) 这是从 ( x , y ) (x, y) (x,y)平面到 ( λ 1 , λ 2 ) (\lambda_1, \lambda_2) (λ1,λ2)平面之间的映射关系，它将 ( x , y ) (x, y) (x,y)平面上任一三角形 A 1 A 2 A 3 A_1A_2A_3 A1A2A3映射到 ( λ 1 , λ 2 ) (\lambda_1, \lambda_2) (λ1,λ2)平面三角形 A 1 ˉ A 2 ˉ A 3 ˉ \bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3} A1ˉA2ˉA3ˉ如下图所示，称 A 1 ˉ A 2 ˉ A 3 ˉ \bar{A_1}\bar{A_2}\bar{A_3} A1ˉA2ˉA3ˉ为标准三角形。
二元 n n n次多项式 P n ( x , y ) = ∑ i + j = 1 T n a i j x i y j ( 5 ) P_n(x,y) = \sum_{i+j=1}^{T_n}{a_{ij}x^iy^j} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5) Pn(x,y)=i+j=1∑Tnaijxiyj (5) 有 T n = 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) T_n = \frac{1}{2}(n+1)(n+2) Tn=21(n+1)(n+2)个自由度。若采用自然坐标即面积坐标 Λ = ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) \Lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) Λ=(λ1,λ2,λ3)且 α = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ∈ Z + 3 \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \in Z_{+}^3 α=(α1,α2,α3)∈Z+3 那么 P n ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) = ∑ ∣ α ∣ = n A α λ 1 α 1 λ 2 α 2 λ 3 α 3 ( 6 ) P_n(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \sum_{\left | \alpha \right | = n}A_{\alpha}\lambda_1^{\alpha_1}\lambda_2^{\alpha_2}\lambda_3^{\alpha_3} \ \ \ \ \ (6) Pn(λ1,λ2,λ3)=∣α∣=n∑Aαλ1α1λ2α2λ3α3 (6) 对于 L a g r a n g e Lagrange Lagrange 型形状函数，由于每个节点上只有一个自由度，所以 n n n 次形状函数有 T n T_n Tn 个节点与它对应。如果将 T n T_n Tn 个节点上的形状函数记为 ψ i ( Λ ) \psi_i(\Lambda) ψi(Λ)，则 ψ i ( Λ j ) = δ i j = { 1 , i = j 0 , i ≠ j ( 7 ) \psi_i(\Lambda_j) = \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, \ \ \ \ i = j \\ 0, \ \ \ i \neq j \\\end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7) ψi(Λj)=δij={1, i=j0, i=j (7) 其中 Λ j \Lambda_j Λj 为第 j j j点的面积坐标 ( λ 1 j , λ 2 j , λ 3 j ) (\lambda_{1j}, \lambda_{2j}, \lambda_{3j}) (λ1j,λ2j,λ3j)。由（7）的 T n T_n Tn个方程，可决定第 j j j 点相应的 n n n 次多项式的系数， 用此方法，在单元上可构成 T n T_n Tn 个 L a g r a n g e Lagrange Lagrange型的形状函数，而生成 ( T n , n , 0 ) (T_n, n, 0) (Tn,n,0)元素。 三角形单元上Lagrange型形状函数的节点坐标对于三角形的任意一条边，例如， 第一个顶点的对边
λ
1
=
0
\lambda_1 = 0
λ1=0，因此，在每一条边上的二元
n
n
n次多项式
P
n
P_n
Pn变成一元
n
n
n次多项式，而由于它有
n
+
1
n+1
n+1 个自由度，所以必须由该边上的
n
+
1
n+1
n+1 个节点参数确定，这
n
+
1
n+1
n+1 个节点取两个顶点和这边上的
n
−
1
n-1
n−1个中间点。为简单，在
T
n
T_n
Tn 个节点中，无论是
E
n
=
3
n
E_n = 3n
En=3n 个外节点，还是
T
n
−
E
n
=
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
/
2
T_n - E_n = (n-1)(n-2)/2
Tn−En=(n−1)(n−2)/2 个内节点，都均匀且对称地配置着，它们由下列直角坐标给出：
(
∑
l
=
1
3
β
l
x
l
/
n
,
∑
l
=
1
3
β
l
y
l
/
n
)
(
8
)
(\sum_{l =1}^3 {\beta_l x_l/n}, \sum_{l =1}^3{\beta_ly_l/n}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)
(l=1∑3βlxl/n,l=1∑3βlyl/n) (8) 其中
β
=
(
β
1
,
β
2
,
β
3
)
∈
Z
+
3
\beta = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) \in Z_{+}^3
β=(β1,β2,β3)∈Z+3， 并满足
0
≤
β
l
≤
n
,
l
=
1
,
2
,
3
(
9
)
0 \leq \beta_l \leq n, \ \ \ l = 1, 2, 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (9)
0≤βl≤n, l=1,2,3 (9) 且不同的
(
β
1
,
β
2
,
β
3
)
(\beta_1, \beta_2, \beta_3)
(β1,β2,β3) 对应不同的点。显然满足（9）的
β
\beta
β 恰恰有
T
n
T_n
Tn个。将这样的
β
\beta
β的集合记为
B
B
B， 而
(
x
l
,
y
l
)
(
l
=
1
,
2
,
3
)
(x_l, y_l)(l = 1, 2, 3)
(xl,yl)(l=1,2,3)是三角形三个顶点的直角坐标，则
T
n
T_n
Tn 个节点的自然坐标即面积坐标
λ
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
\lambda_i(i = 1, 2, 3)
λi(i=1,2,3) 为
λ
i
σ
=
∑
l
=
1
3
β
l
λ
i
l
/
n
,
σ
=
1
,
2
,
.
.
.
,
T
n
(
10
)
\lambda_{i\sigma} = \sum_{l = 1}^3{\beta_l \lambda_{il}/n}, \ \ \ \ \ \sigma = 1, 2, ..., T_n \ \ \ \ \ \ \ \ (10)
λiσ=l=1∑3βlλil/n, σ=1,2,...,Tn (10) 由（8）可以推出，在
T
n
T_n
Tn 个节点中一定包含三个顶点，其余的节点按平行与三条边连接成平行线，将原来的三角形分成
n
2
n^2
n2 个相等的三角形，这些小三角形的顶点作为单元的
T
n
T_n
Tn 个节点， 如下图所示：
|
设任意三角形三个顶点
A
1
A_1
A1
A
2
A_2
A2
A
3
A_3
A3 按逆时针排列，三角形的面积为
Δ
\Delta
Δ。 取三角形内任一点
P
(
x
,
y
)
P(x, y)
P(x,y)，由点
P
P
P向三个顶点分别引直线，将三角形分割成三个三角形
P
A
2
A
3
PA_2A_3
PA2A3，
P
A
3
A
1
PA_3A_1
PA3A1，
P
A
1
A
2
PA_1A_2
PA1A2。分别记相应的面积为
Δ
1
\Delta_1
Δ1，
Δ
2
\Delta_2
Δ2，
Δ
3
\Delta_3
Δ3，令
λ
1
=
Δ
1
/
Δ
,
λ
2
=
Δ
2
/
Δ
,
λ
3
=
Δ
3
/
Δ
,
(
1
)
\lambda_1 = \Delta_1/ \Delta, \ \ \ \lambda_2 = \Delta_2/ \Delta, \ \ \ \lambda_3 = \Delta_3/ \Delta,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
λ1=Δ1/Δ, λ2=Δ2/Δ, λ3=Δ3/Δ, (1) 称
λ
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
\lambda_ i(i = 1, 2, 3)
λi(i=1,2,3)为
P
P
P点的面积坐标，显然有
0
≤
λ
i
≤
1
,
λ
1
+
λ
2
+
λ
3
=
1
(
2
)
0 \leq \lambda_i \leq 1, \ \ \ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda3 = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
0≤λi≤1, λ1+λ2+λ3=1 (2) 说明，三角形
A
1
A
2
A
3
A_1A_2A_3
A1A2A3内的任一点
P
P
P比对应一组数
λ
i
\lambda_i
λi，它们满足（2）。反之，若给出三个数
λ
i
\lambda_i
λi满足（2），则必能在三角形
A
1
A
2
A
3
A_1A_2A_3
A1A2A3内按（1）确定一个与之相应的
P
P
P点。 显然，三角形的三个顶点的面积坐标为
A
1
=
(
1
,
0
,
0
)
,
A
2
=
(
0
,
1
,
1
)
,
A
3
=
(
0
,
0
,
1
)
A_1 = (1, 0, 0), \ \ \ A_2 = (0, 1, 1), \ \ \ A_3 = (0, 0, 1)
A1=(1,0,0), A2=(0,1,1), A3=(0,0,1)
由于
(
x
,
y
)
(x, y)
(x,y)是
(
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
)
(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)
(λ1,λ2,λ3)的函数，
(
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
)
(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)
(λ1,λ2,λ3)也是
(
x
,
y
)
(x, y)
(x,y)的函数，则导数有如下关系
[
∂
∂
λ
1
∂
∂
λ
2
]
=
J
[
∂
∂
x
∂
∂
y
]
,
[
∂
∂
x
∂
∂
y
]
=
J
−
1
[
∂
∂
λ
1
∂
∂
λ
2
]
\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial{\lambda_1}} \\ \frac{\partial}{\partial{\lambda_2}} \\\end{bmatrix} = J\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\\end{bmatrix}, \ \ \ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial{x}} \\ \frac{\partial}{\partial{y}} \\\end{bmatrix} = J^{-1}\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial{\lambda_1}} \\ \frac{\partial}{\partial{\lambda_2}} \\\end{bmatrix}
[∂λ1∂∂λ2∂]=J[∂x∂∂y∂], [∂x∂∂y∂]=J−1[∂λ1∂∂λ2∂] 其中
J
J
J为从
(
x
,
y
)
(x, y)
(x,y)到
(
λ
1
,
λ
2
)
(\lambda_1, \lambda_2)
(λ1,λ2)坐标变换的
J
a
c
o
b
i
Jacobi
Jacobi矩阵。
J
=
[
∂
x
∂
λ
1
∂
y
∂
λ
1
∂
x
∂
λ
2
∂
y
∂
λ
2
]
=
[
x
1
−
x
3
y
1
−
y
3
x
2
−
x
3
y
2
−
y
3
]
J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial{\lambda_1}} & \frac{\partial y}{\partial{\lambda_1}} \\ \frac{\partial x}{\partial{\lambda_2}} & \frac{\partial y}{\partial{\lambda_2}} \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 - x_3 & y_1 - y_3 \\ x_2 - x_3 & y_2 - y_3 \\\end{bmatrix}
J=[∂λ1∂x∂λ2∂x∂λ1∂y∂λ2∂y]=[x1−x3x2−x3y1−y3y2−y3]
例如
n
=
1
n = 1
n=1， 则
T
n
=
3
T_n = 3
Tn=3, 此时
B
=
{
(
1
,
0
,
0
)
,
(
0
,
1
,
0
)
,
(
0
,
0
,
1
)
}
B = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}
B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} 带入（10）得 3 个节点的面积坐标为
Λ
1
=
(
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
)
=
(
1
,
0
,
0
)
,
Λ
2
=
(
0
,
1
,
0
)
,
Λ
3
=
(
0
,
0
,
1
)
\Lambda_1 = (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (1, 0, 0), \\ \Lambda_2 = (0, 1, 0), \ \ \ \ \ \ \Lambda_3 = (0, 0, 1)
Λ1=(λ1,λ2,λ3)=(1,0,0),Λ2=(0,1,0), Λ3=(0,0,1)
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